Содержание
10 удивительных парадоксов. Тема: Наука | by Eggheado | Eggheado: Science
Хотите получать интересные статьи на email каждое утро и расширять кругозор? Присоединяйтесь к Eggheado!
Парадоксы можно найти везде, от экологии до геометрии и от логики до химии. Даже компьютер, на котором вы читаете статью, полон парадоксов. Перед вами — десять объяснений довольно увлекательных парадоксов. Некоторые из них настолько странные, что мы просто не можем полностью понять, в чём же суть.
Очевидно, что киты гораздо крупнее нас, это означает, что у них в телах гораздо больше клеток. А каждая клетка в организме теоретически может стать злокачественной. Следовательно, у китов гораздо больше шансов заболеть раком, чем у людей, так?
Не так. Парадокс Пето, названный в честь оксфордского профессора Ричарда Пето, утверждает, что корреляции между размером животного и раком не существует. У людей и китов шанс заболеть раком примерно одинаков, а вот некоторые породы крошечных мышей имеют гораздо больше шансов.
Некоторые биологи полагают, что отсутствие корреляции в парадоксе Пето можно объяснить тем, что более крупные животные лучше сопротивляются опухоли: механизм работает таким образом, чтобы предотвратить мутацию клеток в процессе деления.
Чтобы что-то могло физически существовать, оно должно присутствовать в нашем мире в течение какого-то времени. Не может быть объекта без длины, ширины и высоты, а также не может быть объекта без «продолжительности» — «мгновенный» объект, то есть тот, который не существует хотя бы какого-то количества времени, не существует вообще.
Согласно универсальному нигилизму, прошлое и будущее не занимают времени в настоящем. Кроме того, невозможно количественно определить длительность, которую мы называем «настоящим временем»: любое количество времени, которое вы назовёте «настоящим временем», можно разделить на части — прошлое, настоящее и будущее.
Если настоящее длится, допустим, секунду, то эту секунду можно разделить на три части: первая часть будет прошлым, вторая — настоящим, третья — будущим. Треть секунды, которую мы теперь называем настоящим, можно тоже разделить на три части. Наверняка идею вы уже поняли — так можно продолжать бесконечно.
Таким образом, настоящего на самом деле не существует, потому что оно не продолжается во времени.
Универсальный нигилизм использует этот аргумент, чтобы доказать, что не существует вообще ничего.
При решении проблем, требующих вдумчивого рассуждения, у людей случаются затруднения. С другой стороны, основные моторные и сенсорные функции вроде ходьбы не вызывают никаких затруднений вообще.
Но если говорить о компьютерах, всё наоборот: компьютерам очень легко решать сложнейшие логические задачи вроде разработки шахматной стратегии, но куда сложнее запрограммировать компьютер так, чтобы он смог ходить или воспроизводить человеческую речь. Это различие между естественным и искусственным интеллектом известно как парадокс Моравека.
Ханс Моравек, научный сотрудник факультета робототехники Университета Карнеги-Меллона, объясняет это наблюдение через идею реверсного инжиниринга нашего собственного мозга. Реверсный инжиниринг труднее всего провести при задачах, которые люди выполняют бессознательно, например, двигательных функциях.
Поскольку абстрактное мышление стало частью человеческого поведения меньше 100 000 лет назад, наша способность решать абстрактные задачи является сознательной. Таким образом, для нас намного легче создать технологию, которая эмулирует такое поведение. С другой стороны, такие действия, как ходьба или разговор, мы не осмысливаем, так что заставить искусственный интеллект делать то же самое нам сложнее.
Каков шанс, что случайное число начнётся с цифры «1»? Или с цифры «3»? Или с «7»? Если вы немного знакомы с теорией вероятности, то можете предположить, что вероятность — один к девяти, или около 11%.
Если же вы посмотрите на реальные цифры, то заметите, что «9» встречается гораздо реже, чем в 11% случаев. Также куда меньше цифр, чем ожидалось, начинается с «8», зато колоссальные 30% чисел начинаются с цифры «1». Эта парадоксальная картина проявляется во всевозможных реальных случаях, от количества населения до цен на акции и длины рек.
Физик Фрэнк Бенфорд впервые отметил это явление в 1938-м году. Он обнаружил, что частота появления цифры в качестве первой падает по мере того, как цифра увеличивается от одного до девяти. То есть «1» появляется в качестве первой цифры примерно в 30,1% случаев, «2» появляется около 17,6% случаев, «3» — примерно в 12,5%, и так далее до «9», выступающей в качестве первой цифры всего лишь в 4,6% случаев.
Чтобы понять это, представьте себе, что вы последовательно нумеруете лотерейные билеты. Когда вы пронумеровали билеты от одного до девяти, шанс любой цифры стать первой составляет 11,1%. Когда вы добавляете билет № 10, шанс случайного числа начаться с «1» возрастает до 18,2%. Вы добавляете билеты с № 11 по № 19, и шанс того, что номер билета начнётся с «1», продолжает расти, достигая максимума в 58%. Теперь вы добавляете билет № 20 и продолжаете нумеровать билеты. Шанс того, что число начнётся с «2», растёт, а вероятность того, что оно начнётся с «1», медленно падает.
Закон Бенфорда не распространяется на все случаи распределения чисел. Например, наборы чисел, диапазон которых ограничен (человеческий рост или вес), под закон не попадают. Он также не работает с множествами, которые имеют только один или два порядка.
Тем не менее, закон распространяется на многие типы данных. В результате власти могут использовать закон для выявления фактов мошенничества: когда предоставленная информация не следует закону Бенфорда, власти могут сделать вывод, что кто-то сфабриковал данные.
Гены содержат всю информацию, необходимую для создания и выживания организма. Само собой разумеется, что сложные организмы должны иметь самые сложные геномы, но это не соответствует истине.
Одноклеточные амёбы имеют геномы в 100 раз больше, чем у человека, на самом деле, у них едва ли не самые большие из известных геномов. А у очень похожих между собой видов геном может кардинально различаться. Эта странность известна как С-парадокс.
Интересный вывод из С-парадокса — геном может быть больше, чем это необходимо. Если все геномы в человеческой ДНК будут использоваться, то количество мутаций на поколение будет невероятно высоким.
Геномы многих сложных животных вроде людей и приматов включают в себя ДНК, которая ничего не кодирует. Это огромное количество неиспользованных ДНК, значительно варьирующееся от существа к существу, кажется, ни от чего не зависит, что и создаёт C-парадокс.
Представьте себе муравья, ползущего по резиновой верёвке длиной один метр со скоростью один сантиметр в секунду. Также представьте, что верёвка каждую секунду растягивается на один километр. Дойдёт ли муравей когда-нибудь до конца?
Логичным кажется то, что нормальный муравей на такое не способен, потому что скорость его движения намного ниже скорости, с которой растягивается верёвка. Тем не менее, в конечном итоге муравей доберётся до противоположного конца.
Когда муравей ещё даже не начал движение, перед ним лежит 100% верёвки. Через секунду верёвка стала значительно больше, но муравей тоже прошёл некоторое расстояние, и если считать в процентах, то расстояние, которое он должен пройти, уменьшилось — оно уже меньше 100%, пусть и ненамного.
Хотя верёвка постоянно растягивается, маленькое расстояние, пройденное муравьём, тоже становится больше. И, хотя в целом верёвка удлиняется с постоянной скоростью, путь муравья каждую секунду становится немного меньше. Муравей тоже всё время продолжает двигаться вперёд с постоянной скоростью. Таким образом, с каждой секундой расстояние, которое он уже прошёл, увеличивается, а то, которое он должен пройти — уменьшается. В процентах, само собой.
Существует одно условие, чтобы задача могла иметь решение: муравей должен быть бессмертным. Итак, муравей дойдёт до конца через 2,8×1043.429 секунд, что несколько дольше, чем существует Вселенная.
Модель «хищник-жертва» — это уравнение, описывающее реальную экологическую обстановку. Например, модель может определить, насколько изменится численность лис и кроликов в лесу. Допустим, что травы, которой питаются кролики, в лесу становится всё больше. Можно предположить, что для кроликов такой исход благоприятен, потому что при обилии травы они будут хорошо размножаться и увеличивать численность.
Парадокс экологического баланса утверждает, что это не так: сначала численность кроликов действительно возрастёт, но рост популяции кроликов в закрытой среде (лесу) приведёт к росту популяции лисиц. Затем численность хищников увеличится настолько, что они уничтожат сначала всю добычу, а потом вымрут сами.
На практике этот парадокс не действует на большинство видов животных — хотя бы потому, что они не живут в закрытой среде, поэтому популяции животных стабильны. Кроме того, животные способны эволюционировать: например, в новых условиях у добычи появятся новые защитные механизмы.
Соберите группу друзей и посмотрите все вместе это видео. Когда закончите, пусть каждый выскажет своё мнение, увеличивается звук или уменьшается во время всех четырёх тонов. Вы удивитесь, насколько разными будут ответы.
https://www.youtube.com/watch?v=B-UDOo4lBYw
Чтобы понять этот парадокс, вам нужно знать кое-что о музыкальных нотах. У каждой ноты есть определённая высота, от которой зависит, высокий или низкий звук мы слышим. Нота следующей, более высокой октавы, звучит в два раза выше, чем нота предыдущей октавы. А каждую октаву можно разделить на два равных тритонных интервала.
На видео тритон разделяет каждую пару звуков. В каждой паре один звук представляет собой смесь одинаковых нот из разных октав — например, сочетание двух нот до, где одна звучит выше другой. Когда звук в тритоне переходит с одной ноты на другую (например, соль-диез между двумя до), можно совершенно обоснованно интерпретировать ноту как более высокую или более низкую, чем предыдущая.
Другое парадоксальное свойство тритонов — это ощущение, что звук постоянно становится ниже, хотя высота звука не меняется. На нашем видео вы можете наблюдать эффект в течение целых десяти минут.
Перед вами два стакана воды, совершенно одинаковые во всём, кроме одного: температура воды в левом стакане выше, чем в правом. Поместите оба стакана в морозилку. В каком стакане вода замёрзнет быстрее? Можно решить, что в правом, в котором вода изначально была холоднее, однако горячая вода замёрзнет быстрее, чем вода комнатной температуры.
Этот странный эффект назван в честь студента из Танзании, который наблюдал его в 1986-м году, когда замораживал молоко, чтобы сделать мороженое. Некоторые из величайших мыслителей — Аристотель, Фрэнсис Бэкон и Рене Декарт — и ранее отмечали это явление, но не были в состоянии объяснить его. Аристотель, например, выдвигал гипотезу, что какое-либо качество усиливается в среде, противоположной этому качеству.
Эффект Мпембы возможен благодаря нескольким факторам. Воды в стакане с горячей водой может быть меньше, так как часть её испарится, и в результате замёрзнуть должно меньшее количество воды. Также горячая вода содержит меньше газа, а значит, в такой воде легче возникнут конвекционные потоки, следовательно, замерзать ей будет проще.
Другая теория строится на том, что ослабевают химические связи, удерживающие молекулы воды вместе. Молекула воды состоит из двух атомов водорода, связанных с одним атомом кислорода. Когда вода нагревается, молекулы немного отодвигаются друг от друга, связь между ними ослабевает, и молекулы теряют немного энергии — это позволяет горячей воде остывать быстрее, чем холодной.
Представьте себе, что вы держите в руках шар. А теперь представьте, что вы начали рвать этот шар на куски, причём куски могут быть любой формы, какая вам нравится. После сложите кусочки вместе таким образом, чтобы у вас получилось два шара вместо одного. Каков будет размер этих шаров по сравнению с шаром-оригиналом?
Согласно теории множеств, два получившихся шара будут такого же размера и формы, как шар-оригинал. Кроме того, если учесть, что шары при этом имеют разный объём, то любой из шаров может быть преобразован в соответствии с другим. Это позволяет сделать вывод, что горошину можно разделить на шары размером с Солнце.
Хитрость парадокса заключается в том, что вы можете разорвать шары на куски любой формы. На практике сделать это невозможно — структура материала и в конечном итоге размер атомов накладывают некоторые ограничения.
Для того чтобы было действительно возможно разорвать шар так, как вам нравится, он должен содержать бесконечное число доступных нульмерных точек. Тогда шар из таких точек будет бесконечно плотным, и когда вы разорвёте его, формы кусков могут получиться настолько сложными, что не будут иметь определенного объёма. И вы можете собрать эти куски, каждый из которых содержит бесконечное число точек, в новый шар любого размера. Новый шар будет по-прежнему состоять из бесконечных точек, и оба шара будут одинаково бесконечно плотными.
Если вы попробуете воплотить идею на практике, то ничего не получится. Зато всё замечательно получается при работе с математическими сферами — безгранично делимыми числовыми множествами в трехмерном пространстве. Решённый парадокс называется теоремой Банаха-Тарского и играет огромную роль в математической теории множеств.
По материалам: publy.ru
Если вы хотите получать больше статей, подобно этой, то кликните Recommend ниже.
Eggheado — это познавательная статья к завтраку
ТОП 3: Самые интересные научные парадоксы
Наша планета хранит в себе бесчисленное количество разных загадок и тайн. Некоторые из них были созданы давным давно самой матушкой природой. А к созданию некоторых приложил свою руку человек. А в данном случае — ум, или же наоборот его отсутствие. Потому что, многое из придуманного человеком не подлежит здравому его описанию. Как с научной, так и с логической точки зрения.
Над некоторыми вопросами ученые всего мира думают десятилетиями и тщетно. К таким же вещам относятся и три самых необычных научных парадокса, которые ставят в тупиковое положение всех, кто пытался их разгадать.
3. Почетное третье место в этом топе занимает интересное явление, которое было названо «парадоксом убитого дедушки». К счастью, на самом деле никто никого не убивал. Это всего лишь теория и предположения. Суть заключается в том, что можно допустить, что путешествия во времени реальны. И это будет значить, что подросток Миша (к примеру), легко бы мог переместиться в прошлое. И там бы он вероятно мог бы познакомиться со своим дедом, когда тот еще сам был подростком. Чисто теоретически они могли сильно повздорить и Миша убил бы своего родственника. А раз тот еще был подростком, то со своей будущей женой он еще не женат и детей у него не было. А значит не родились родители Миши и он сам — как последствие. А раз мальчик не родился на свет, то он не смог бы отправиться в прошлое. А если бы он смог перемещаться, то это означало бы, что он никак не может убить дедушку, иначе его не будет в будущем времени. Как бы там ни было, логика отступает перед такой задачей.
2. Серебряное звание и средняя позиция топа достается «парадоксу лжеца», который звучит как «Everybody lies», в оригинале. В древние времена, один человек, которого звали Эпименид, сказал, что абсолютно все критяне лгут. Его высказывание считалось нормой до определенного момента. А именно, пока одного из ученых, которые живут в современном мире, не заинтересовал этот интересный случай. Имя ученого Грегори Хаус и он смог опровергнуть древнее высказывание. Мужчина долго размышлял над этим парадоксальным явлением и пришел к выводу, что сам говоривший солгал. Ведь если все критяне лгут, то и он соответственно тоже это делает, ведь он критянин. А если представить, что тот человек сказал правду, то выходит, что не все они лжецы и его высказывание не правдиво. А раз не правдиво высказывание, то он сам соврал, ведь он критянин. Головоломка та еще получается. Над ней можно думать очень долго и она всегда приводит к замкнутому кругу высказываний.
1. И самое интересное и необъяснимое явление, которое не дает спать спокойно ученым уже много лет, «Парадокс трезвого и пьяницы». Само только название уже интригует. А суть этого явление вот в чем: если следовать логике, то в любом баре присутствует как минимум один пьяница. И когда он пьет, то согласно логике с ним вместе пьют и все остальные посетители заведения. Ну и когда пьют другие люди, то и он — пьет. С этим все понятно, ничего необычного. Но, если учесть тот факт, что есть еще другое утверждение… Согласно здравому рассудку, в любом баре, как минимум один посетитель всегда остается трезвый, так как он не пьет. Он не пьет, независимо от того, что делают все остальные присутствующие. А если он когда и пьет, то это не значит, что и другие делают то же самое. Ведь, по закону логики, один из посетителей всегда трезв.
Исходя из всего этого назревает вопрос: а правда то где? Если верное первое утверждение, то второе — ошибка. А если второе правдивое, то первое — бред. Если их не сопоставлять, то они оба являются правдивыми. Но, главное их не переплетать между собой, иначе возникнет путаница, и последует вывод, что они не правдивые оба.
Шесть философских и научных парадоксов
ПОДЕЛИТЬСЯ:
FacebookTwitter
Узнайте о шести знаменитых парадоксах философии и науки
Обзор шести известных парадоксов в философии и науке.
© Открытый университет (партнер-издатель Britannica)
60-секундные приключения в мыслях. Номер один, Ахиллес и черепаха. Как могла скромная черепаха победить легендарного греческого героя Ахиллеса в гонке? Греческому философу Зенону понравилась эта задача, и он придумал этот парадокс. Во-первых, черепахе дается небольшая фора. Любой, кто мечтает о трепыхании, все равно бросится ставить свои деньги на Ахиллеса.
Но Зенон указал, что для того, чтобы догнать его, Ахиллесу сначала придется преодолеть расстояние до точки, где начинается черепаха. За это время черепаха сдвинулась бы с места, поэтому Ахиллесу пришлось бы преодолеть это расстояние, дав черепахе время еще немного продвинуться вперед. По логике это будет продолжаться вечно.
Каким бы маленьким ни было расстояние между ними, черепаха все равно сможет двигаться вперед, пока Ахилл догоняет ее, а это означает, что Ахиллес никогда не сможет обогнать ее. Доведенный до крайности, этот причудливый парадокс предполагает, что любое движение невозможно.
Но это привело к осознанию того, что нечто конечное можно делить бесконечное число раз. Эта концепция бесконечного ряда используется в финансах для расчета ипотечных платежей, поэтому для их погашения требуется бесконечное количество времени.
Номер два, Парадокс дедушки. Будут ли путешествия во времени когда-нибудь возможны? Рене Баржавель был французским журналистом и писателем-фантастом, который много времени размышлял о путешествиях во времени. В 1943 году Барджавель спросил, что произойдет, если человек вернется в прошлое, до того, как родились его родители, и убьет собственного деда?
Без дедушки ни один из родителей мужчины никогда бы не родился, а значит, и сам мужчина никогда бы не существовал. Так что некому было бы вернуться в прошлое и убить дедушку в первую очередь или в последнюю очередь, смотря как на это посмотреть.
Парадокс дедушки был основой философии, физики и всей трилогии «Назад в будущее». Некоторые люди пытались защитить путешествие во времени с помощью таких аргументов, как разрешение параллельной вселенной, в котором изменения, сделанные путешественником во времени, создают новую отдельную историю, ответвляющуюся от существующей. Но преобладает парадокс дедушки.
Хотя парадокс только предполагает, что путешествие назад во времени невозможно. Там ничего не сказано о том, чтобы пойти другим путем.
Номер три, Китайская комната. Можно ли когда-нибудь назвать машину по-настоящему разумной?
Американский философ и ученый Родса Джон Сирл, конечно, может. В 1980 году он предложил мысленный эксперимент с китайской комнатой, чтобы бросить вызов концепции сильного искусственного интеллекта, а не из-за какой-то дизайнерской причуды 80-х. Он представляет себя в комнате с коробками китайских иероглифов, которых он не понимает, и книгой инструкций, которые он понимает.
Если говорящий по-китайски за пределами комнаты передает ему сообщения под дверью, Серл может следовать инструкциям из книги, чтобы выбрать подходящий ответ. Человек на другой стороне подумает, что разговаривает с китайцем, который мало выходит из дома. Но на самом деле это запутанный философ.
Согласно Алану Тьюрингу, отцу информатики, если компьютерная программа может убедить человека, что он общается с другим человеком, то можно сказать, что она думает. Китайская комната предполагает, что, как бы хорошо вы ни программировали компьютер, он не понимает китайский язык, а только имитирует это знание, которое на самом деле не является интеллектом. Но иногда люди тоже не обладают таким интеллектом.
Номер четыре, Бесконечный отель Гильберта. Гранд-отель с бесконечным числом комнат и бесконечным числом гостей в этих комнатах — такова была идея немецкого математика Давида Гильберта, друга Альберта Эйнштейна и врага горничных всего мира. Чтобы бросить вызов нашим представлениям о бесконечности, он спросил, что произойдет, если кто-то новый придет в поисках места для ночлега?
Ответ Гильберта состоит в том, чтобы заставить каждого гостя перемещаться по одной комнате.
Гость из комнаты 1 переезжает в комнату 2 и так далее. Таким образом, у нового гостя будет место в комнате номер один. И в гостевой книге было бы бесконечное количество жалоб. Но что делать, если подъезжает вагон с бесконечным количеством новых гостей? Конечно, он не может вместить их всех.
Гильберт освобождает бесконечное количество комнат, предлагая гостям переселиться в комнату с номером, который в два раза больше их текущего номера, оставляя бесконечно много нечетных номеров свободными. Легко для гостя в номере один, не так просто для человека из соседа по комнате 8 600 597. Парадокс Гильберта очаровал математиков, физиков и философов, даже теологов.
И все они согласны с тем, что нужно пораньше вставать на завтрак.
Номер пять, Парадокс близнецов. У Альберта Эйнштейна не было брата-близнеца, но у него были забавные идеи о том, что можно сделать с ним. Он представил себе двух однояйцевых близнецов, назовем их Ал и Берт. Теперь Эл — домосед, а вот Берт любит путешествовать. Поэтому он запрыгивает в космический корабль и летит со скоростью, близкой к скорости света.
Когда вступает в действие специальная теория относительности Эйнштейна. Она гласит, что чем быстрее вы путешествуете в пространстве, тем медленнее вы двигаетесь во времени. Так что, с точки зрения Ала, время Берта будет идти медленнее, чем его собственное. Иными словами, время может лететь, когда вам весело, но когда часы летят, в теории относительности они идут медленнее.
Через некоторое время Берт решает вернуться, все еще на скорости, близкой к скорости света, и вернуться к своему брату со своими праздничными снимками. Но когда Берт вернется домой, Ал теперь будет старше своего близнеца, что делает двойные свидания намного более неловкими.
Хотя это кажется неправдоподобным, Эйнштейн просто довел свою теорию до ее логического завершения. И оказывается, он был прав. Эта концепция замедления времени обеспечивает основу для нашей глобальной системы позиционирования, благодаря которой ваша спутниковая навигация узнает, что вам нужно повернуть налево через 200 ярдов.
Номер Шесть, Кот Шрёдингера. Эрвин Шредингер был физиком, биологом-теоретиком и, вероятно, больше увлекался собаками. В 1920-х годах ученые открыли квантовую механику, согласно которой некоторые частицы настолько малы, что их невозможно даже измерить, не изменив. Но теория работала только в том случае, если до того, как вы их измерили, частица одновременно находилась в суперпозиции всех возможных состояний.
Чтобы решить эту проблему, Шрёдингер представил кота в коробке с радиоактивной частицей и счетчиком Гейгера, прикрепленным к пузырьку с ядом. Если частица распадается, она запускает счетчик Гейгера, высвобождает яд и до свидания Титлз. Но если частица находится в двух состояниях, распавшемся и нераспавшемся, то и кошка находится в двух состояниях: мертвом и немертвом. Пока кто-нибудь не заглянет в коробку.
На практике невозможно поместить кошку в суперпозицию. Вы бы поддержали лобби по защите прав животных. Но вы можете изолировать атомы. И они, кажется, находятся в двух состояниях одновременно. Квантовая механика бросает вызов всему нашему восприятию реальности. Так что, может быть, понятно, что сам Шредингер решил, что ему это не нравится. И пожалел, что вообще начал о кошках.
10 парадоксов, которые поразят ваш разум
Парадокс — это утверждение или проблема, которая либо приводит к двум полностью противоречащим (хотя и возможным) результатам, либо служит доказательством того, что идет вразрез с тем, что мы интуитивно ожидаем. Парадоксы были центральной частью философского мышления на протяжении веков и всегда готовы бросить вызов нашей интерпретации простых ситуаций, переворачивая с ног на голову то, что мы могли бы считать истиной, и представляя нам доказуемо правдоподобные ситуации, которые на самом деле столь же доказуемы. невозможно. Смущенный? Вы должны быть.
1. АХИЛЛ И ЧЕРЕПАХА
Парадокс Ахиллеса и Черепахи является одним из ряда теоретических рассуждений о движении, выдвинутых греческим философом Зеноном Элейским в 5 веке до н.э. Он начинается с того, что великий герой Ахиллес бросает вызов черепахе в беге. Чтобы все было честно, он соглашается дать черепахе фору, скажем, 500 метров. Когда начинается гонка, неудивительно, что Ахиллес начинает бежать со скоростью, намного превышающей скорость черепахи, так что к тому времени, когда он достигает отметки в 500 м, черепаха прошла только на 50 м дальше, чем он. Но к тому времени, когда Ахилл достиг отметки 550 м, черепаха прошла еще 5 м. И к тому моменту, как она достигла отметки 555 м, черепаха прошла еще 0,5 м, затем 0,25 м, затем 0,125 м и так далее. Этот процесс продолжается снова и снова на бесконечной серии все меньших и меньших расстояний, при этом черепаха всегда движется вперед, а Ахиллес всегда играет в догонялки.
Логически это доказывает, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху — когда бы он ни достиг места, где была черепаха, у него всегда будет еще какое-то расстояние, каким бы малым оно ни было. За исключением, конечно, интуитивного понимания, что он может обогнать черепаху. Хитрость здесь заключается не в том, чтобы думать о парадоксе Ахилла Зенона с точки зрения расстояний и рас, а скорее как о примере того, как любое конечное значение всегда можно разделить бесконечное число раз, независимо от того, насколько малыми могут стать его деления.
2. ПАРАДОКС БУТСТРАПА
Парадокс бутстрапа — это парадокс путешествия во времени, который ставит вопрос о том, как что-то, взятое из будущего и помещенное в прошлое, вообще могло появиться на свет. Это обычный троп, используемый писателями-фантастами, и он вдохновил сюжетные линии во всех фильмах, от «Доктор Кто » до Билла и Теда фильмов, но один из самых запоминающихся и простых примеров — профессор Дэвид Туми из Массачусетского университета и использовал его. в своей книге Новые путешественники во времени — включает автора и его рукопись.
Представьте, что путешественник во времени покупает экземпляр «Гамлет » в книжном магазине, возвращается во времени в елизаветинский Лондон и передает книгу Шекспиру, который затем копирует ее и заявляет, что это его собственное произведение. На протяжении последующих столетий «Гамлет » переиздавался и воспроизводился бесчисленное количество раз, пока, наконец, его копия не оказалась в том же книжном магазине, где путешественник во времени находит ее, покупает и возвращает Шекспиру. Кто же тогда написал Гамлет ?
3. ПАРАДОКС МАЛЬЧИКА ИЛИ ДЕВОЧКИ
Представьте, что в семье двое детей, один из которых, как мы знаем, мальчик. Какова тогда вероятность того, что второй ребенок — мальчик? Очевидный ответ состоит в том, что вероятность равна 1/2 — в конце концов, другой ребенок может быть только либо мальчиком, либо , либо девочкой, а шансы на то, что ребенок родится мальчиком или девочкой, равны (по существу ) равный. Однако в семье с двумя детьми фактически возможны четыре комбинации детей: два мальчика (MM), две девочки (FF), старший мальчик и младшая девочка (MF), старшая девочка и младший мальчик ( ФМ). Мы уже знаем, что один из детей — мальчик, а это означает, что мы можем исключить комбинацию FF, но это оставляет нам три равновозможных комбинации детей, в которых по крайней мере один мальчик, а именно ММ, МФ и ФМ. Это означает, что вероятность того, что другой ребенок — это мальчик — ММ — должна быть 1/3, а не 1/2.
4. ПАРАДОКС КАРТОЧКИ
Представьте, что вы держите в руке открытку, на одной стороне которой написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки верно». Мы назовем это Утверждение А. Переверните карточку, и на противоположной стороне будет написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки ложно» (Утверждение Б). Однако попытка приписать какую-либо истину утверждению A или B приводит к парадоксу: если A истинно, то B также должно быть истинным, но чтобы B было истинным, A должно быть ложным. Наоборот, если А ложно, то и В должно быть ложным, что в конечном итоге должно сделать А истинным.
Изобретенный британским логиком Филипом Журденом в начале 1900-х годов, парадокс карт представляет собой простую вариацию того, что известно как «парадокс лжеца», в котором присвоение значений истинности утверждениям, которые претендуют на истинность или ложность, приводит к противоречию. . еще более сложная вариация парадокса лжеца — следующая запись в нашем списке.
5. ПАРАДОКС С КРОКОДИЛОМ
Крокодил выхватывает с берега мальчика. Его мать умоляет крокодила вернуть его, на что крокодил отвечает, что он благополучно вернет мальчика только в том случае, если мать сможет правильно угадать, действительно ли он вернет мальчика. Ничего страшного, если мать догадается, что крокодил вернет его — если она права, его вернут; если она ошибается, крокодил держит его. Однако, если она ответит, что , а не , крокодил вернет его, мы придем к парадоксу: если она права и крокодил никогда не собирался возвращать ее ребенка, то крокодил должен вернуть его, но при этом нарушает свою слово и противоречит ответу матери. С другой стороны, если она ошибается и крокодил действительно намеревался вернуть мальчика, крокодил должен оставить его, даже если он не собирался этого делать, тем самым также нарушив свое слово.
Парадокс крокодила — настолько древняя и устойчивая логическая проблема, что в Средние века слово «крокодил» стало использоваться для обозначения любой подобной головоломной дилеммы, когда вы допускаете что-то, что позже используется против вас, в то время как «крокодил
6. ПАРАДОКС ДИХОТОМИИ
Представьте, что вы собираетесь идти по улице. Чтобы добраться до другого конца, вам сначала придется пройти половину пути. И чтобы пройти туда половину пути, нужно сначала пройти туда четверть пути. И чтобы пройти туда четверть пути, надо сначала пройти туда восьмую часть пути. А перед этим шестнадцатая часть пути туда, потом тридцать вторая часть пути туда, шестьдесят четвертая часть пути туда и так далее.
В конечном счете, для выполнения даже самых простых задач, таких как прогулка по улице, вам придется выполнять бесконечное количество более мелких задач, что по определению совершенно невозможно. Не только это, но и независимо от того, насколько мала первая часть пути, ее всегда можно сократить вдвое, чтобы создать другую задачу; единственный способ, которым нельзя сократить вдвое, состоит в том, чтобы считать первую часть пути абсолютно нулевой, а для того, чтобы выполнить задачу не двигаться ни на какое расстояние, вы даже не можете начать свое путешествие. в первую очередь.
7. ПАРАДОКС ФЛЕТЧЕРА
Представьте себе, что стрелочник (то есть мастер по изготовлению стрел) выпустил одну из своих стрел в воздух. Чтобы стрелка считалась движущейся, она должна постоянно перемещаться из того места, где она сейчас находится, в любое место, где ее сейчас нет. Однако парадокс Флетчера утверждает, что на протяжении всей своей траектории стрела на самом деле вообще не движется. В любой данный момент времени без реальной продолжительности (другими словами, моментальный снимок во времени) во время своего полета стрела не может двигаться туда, где ее нет, потому что у нее нет на это времени. И оно не может переместиться туда, где оно сейчас, потому что оно уже там. Итак, в этот момент времени стрелка должна быть неподвижна. Но поскольку все время целиком состоит из мгновений, в каждом из которых стрелка также должна быть неподвижна, то и стрелка должна быть неподвижна все время. Если, конечно, это не так.
8. ПАРАДОКС БЕСКОНЕЧНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
В своей последней письменной работе «Рассуждения и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам» (1638 г.) легендарный итальянский эрудит Галилео Галилей предложил математический парадокс, основанный на отношениях между различными наборы чисел. С одной стороны, предположил он, есть квадратные числа — например, 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее. С другой стороны, есть числа, которые составляют , а не квадрата, например 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и так далее. Соедините эти две группы вместе, и, конечно же, в целом должно быть больше чисел, чем 9. 0071 всего квадратных числа, или, другими словами, общее количество квадратных чисел должно быть меньше, чем общее количество квадратных и неквадратных чисел вместе взятых. Однако, поскольку у каждого положительного числа должен быть соответствующий квадрат, а у каждого квадратного числа должно быть положительное число в качестве его квадратного корня, не может быть больше одного, чем другого.
Запутались? Ты не один. При обсуждении своего парадокса Галилею не оставалось ничего другого, кроме как заключить, что числовые понятия, подобные больше , меньше или меньше могут применяться только к конечным наборам чисел, а поскольку существует бесконечное количество квадратных и неквадратных чисел, эти понятия просто не могут использоваться в этом контексте.
9. ПАРАДОКС КАРТОФЕЛЯ
Представьте, что у фермера есть мешок с 100 фунтами картофеля. Он обнаруживает, что картофель состоит на 99% из воды и на 1% из твердых веществ, поэтому он оставляет его на солнце на день, чтобы количество воды в нем уменьшилось до 9%.8%. Но когда он возвращается к ним на следующий день, он обнаруживает, что его 100-фунтовый мешок теперь весит всего 50 фунтов. Как это может быть правдой? Что ж, если 99% из 100 фунтов картофеля составляют вода, то вода должна весить 99 фунтов. 1% твердых веществ должен в конечном итоге весить всего 1 фунт, что дает соотношение твердых веществ и жидкостей 1:99. Но если картофель обезвоживается до 98% воды, то на долю сухих веществ должно приходиться 2% веса — соотношение 2:98 или 1:49, — даже несмотря на то, что сухие вещества должны по-прежнему весить всего 1 фунт. Вода, в конечном счете, теперь должна весить 49фунтов, что дает общий вес 50 фунтов, несмотря на снижение содержания воды всего на 1%. Или должен?
Хотя парадокс картофеля и не является истинным парадоксом в строгом смысле этого слова, он является известным примером того, что известно как достоверный парадокс, в котором основная теория доводится до логического, но явно абсурдного вывода.