10 головоломок, решив которые, вы разбогатеете. Нерешенные математические задачи человечества
Задачи тысячелетия. Просто о сложном / Хабр
Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.
После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.
Равенство классов P и NP
Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (Polynomial time) — для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.
На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.Гипотеза Ходжа
В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.
Гипотеза Римана
Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11...). С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 — 2 простых числа, для 10 — уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.Теория Янга — Миллса
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Для уравнения x2 + y2 = z2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом. Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.
В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Гипотеза Пуанкаре
Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик — нельзя». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.Заключение
В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».
Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.
habr.com
Хочу учиться - нерешенные задачи
Главная страница - » Задачи человечества
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИКИ, НЕ РЕШЕННЫЕ ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ
Задачи Гильберта
23 важнейших проблем математики были представлены величайшим немецким математиком Давидом Гильбертом на Втором Международном конгресе математиков в Париже в 1990 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, вариационное исчисление и теорию вероятностей, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев
Задачи Ландау
До сих пор существует много открытых вопросов, связанных с простыми числами (простое число - это число, которое имеет отлько два делителя: единицу и само это число). Наиболее важные вопросы были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Междунанародном математическом конгресе:
Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?
Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?Третья проблема Ландау (гипотеза Лежандра): верно ли, что для всякого натурального числа n между и всегда найдётся простое число?Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида , где n — натуральное число?
Это семь математических задач, за решение каждой из которых инcтитут Клея предложил приз в 1 000 000 долларов США. Вынося на суд математиков эти семь задач, иститут Клея сравнил их с 23 задачами Д.Гильберта, которые оказали большое влияние на на математику ХХ века. Из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия. По состоянию на декабрь 2012 года только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена. Приз за её решение присуждён российскому математику Григорию Перельману, который от него отказался.
Вот список этих семи задач:
№1. Равенство классов P и NP
Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классуц NP, второго — классу Р. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.
№2. Гипотеза Ходжа
Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы комогологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.
№3. Гипотеза Пуанкаре (доказана Г.Я.Перельманом)
Cчитается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий 3D «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г.Я.Перельману, опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.
№4. Гипотеза Римана
Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта.
№5. Теория Янга — Миллса
Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для четырехмарного пространства существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.
№6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.
№7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.
на главную
gghelp.ru
10 головоломок, решив которые, вы разбогатеете / Genomics X, Qualcomm Tricorder, концепт
10. Задачи тысячелетия математического института Клэя
В 2000 году математический институт Клэя представил список из семи самых печально известных математических проблем. И тому, кто решит хотя бы одну, получит $1 млн. С 2000 года была решена только одна из них.
Григорий Перельман, российский математик, доказал теорему Пуанкаре, разрешить которую пытались аж с 1904 года. Тем не менее, он потратил столько лет на эту проблему, что в значительной степени выпал из общества, отказавшись от медали Филдса (высшей награды в математике) и никогда не претендовав на миллион долларов, сославшись на свое разочарование в математике. Так что, если вы хотите сойти с ума подобным образом, вас ожидают еще шесть задач.
Одной из таких проблем является решение уравнения P = NP. Задача впервые была предложена в 1971 году. Нестрого говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти.
Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, …} есть такие, что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом). Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее, но это не доказано.
Уловили? В принципе, это решение одной проблемы дважды, только числа меняются. В настоящее время это крупнейшая проблема в теоретической информатике. Было множество людей, которые пробовали свои силы, но все они потерпели неудачу. Ближе всего к решению были в 2010 году, решив только часть задачи.
9. Приз Archon Genomics X
Порождающие головную боль математические задачи - это слишком сложно? Приз Archon Genomics X требует меньше знаний математики. За приз в $10 млн вам нужно создать устройство, которое сможет упорядочить 100 геномов человека в течение 10 дней с точностью до одной единственной ошибки на 100 000 частей ДНК. Да, и стоимость должна быть ниже $ 10000.
В отличие от математических задач, это открытие может сделать чертовски много для человечества, а не просто поставить числа вместе. Упорядочивание генома может стать мейнстримом, помочь обнаружить будущие риски для здоровья, сделать индивидуальные лекарства и составить собственный план здоровья.
Кроме того, $ 10 миллионов долларов - это фантастическая сумма.
8. Проблема ночного лунохода
Так как солнечные батареи годятся только для сбора энергии в течение дня, NASA организовал конкурс с призом в $ 15 млн тому, кто сможет найти длительный метод хранения энергии, чтобы такое устройство как вездеход, смогло иметь достаточно электроэнергии для работы в темноте.
NASA хочет иметь возможность использовать транспортные средства на солнечных батареях на Луне, месте, печально известном тем, что ночь там длится довольно долго. Если кто-то сможет решить эту проблему, вездеходы смогут исследовать Луну или Марс в любое время, независимо от их положения к Солнцу.
Представьте себе, резкие снимки горизонта Плутона. В данный момент это невозможно, мешают Солнце и миллиарды километров. Но ночью вездеход сможет сделать их. Так что, если хотите заработать, вы можете быть тем, кто поможет этой идее осуществиться.
7. Премия Qualcomm Tricorder
Названный в честь футуристического устройства из Star Trek, приз Qualcomm Tricorder хочет найти того, кто сделает устройство, которое сможет диагностировать пациентов лучше, чем ряд квалифицированных врачей. Помимо премии в $ 10 млн, вы станете известны, как человек, который воплотил идею Star Trek в жизнь. Возможно, тогда общество безработных врачей начнет "охоту за вашей головой", но вы не услышите их криков за собственными медными трубами.
6. Проект Methuzelah Mouse (Mprize)
Проводя эксперименты над мышами в лаборатории, ученые обнаружили печальную закономерность: мыши имеют очень короткий срок службы. Так как многие эксперименты связаны с жизнью человека, результаты, как правило, не являются полными и крайне неточны.
Поэтому, если вы сможете вырастить, генетически изменить, модифицировать или иным способом заставить мышей жить больше пяти лет, то вы получите $ 4 млн. Это может помочь ученым изучить долгосрочные риски здоровью, и в значительной степени ускорить темп развития науки.
Кроме того, это достижение поможет в исследовании долголетия человека. Вы получите еще $4 млн, если найдете способ, как не просто продлить жизнь мышам, но и сохранить их здоровье в течение новой старости.
В принципе, это попытки ученых продлить жизнь человека. Возможно, тогда бессмертный Халк Хоган оправдает свое имя.
5. Чеки-вознаграждения Кнута
Дональд Кнут написал несколько книг о компьютерах и информатике и создал оригинальный способ продать их: он предложил денежные вознаграждения для тех, кто найдет ошибки. Если вы нашли их, вы выигрываете шестнадцатеричный доллар. Нельзя сказать, что финансово впечатляет ($ 2.56), и фактически сама проверка стоит намного больше. Но эти чеки в значительной степени являются призом сами по себе. Кнут использовал чеки банка Of San Sarriff.
Никогда не слышали про такой банк? Это потому, что он выдуман. Он, очевидно, имеет филиалы на вымышленной планета Пинкус. Так что, если вы вдруг окажетесь в районе Пинкуса и вам понадобятся наличные, вы находитесь в хороших руках.
Но все-таки с этими вымышленными чеками возникла проблема. Хакеры использовали номера чеков Кнута, чтобы взломать его счет и украсть деньги. Как они узнали номер? Взволнованные люди, которые нашли ошибки и выиграли чек, фотографировали их и выкладывали в Интернет, еще раз доказав, что смысл книги и здравый смысл незнакомы друг с другом.
4.Соревнование Virgin Earth
Британский магнат и энтузиаст Ричард Брэнсон также назначил премию, и огромную. В общей сложности $ 25 миллионов долларов пойдет победителю соревнований Virgin Earth. Суть соревнования – очистить атмосферу Земли от «парниковых» газов, чтобы избежать глобального потепления. В настоящее время там около 200 млрд метрических тонн этой гадости. Но, к счастью, правила гласят, чтобы доказать, что это возможно, вы должны убрать только один миллиард тонн. Хорошо, убрать миллиард тонн газа с неба, на самом деле, звучит вполне реально. Плевое дело. Но 200 млрд? Это безумие.
3. Паранормальное соревнование
Приз в $ 1 млн предложил Образовательный фонд Джеймса Рэнди любому, кто сможет доказать, что паранормальные явления реальны. Впервые, это заявление было сделано Рэнди в гостях на радио-шоу в Великобритании в 1968 году. Звонивший сказал Рэнди, что ему следует поумерить свой скептицизм, тогда он предложил $ 100 первому, кто сможет доказать, что призраки или привидения существуют. С тех пор он все увеличивал и увеличивал награду, пока она не составила $1 млн.
Но это не так-то просто. Одних разговоров с призраками с помощью доски для спиритических сеансов мало. Вы должны представить уйму доказательств, пройти кучу интервью и тестов, чтобы удовлетворить все правила. И даже тогда правила гласят, что Рэнди не признает, что сверхъестественное реально, он просто скажет, что вам удалось пройти испытание, вернет ваши деньги и останется при своем мнении.
Не то, чтобы подобный инцидент имел место быть. С 1968 года никто не прошел и даже не был близок к выигрышу. Некоторые медиумы, Сильвия Браун и Розмари Альтеа нашли отговорки, чтобы в этом не участвовать, либо попытались, но с треском провалились.
2. Приз от NASA за наноспутник
Призом в $ 2 млн ждет того, что сможет запустить маленький спутник на орбиту дважды за одну неделю. Именно два раза. Потому что любой дурак сможет отправить спутник на орбиту один раз на неделе. Черт побери, давно уже отправили.
Для двух спутников на орбите есть определенная причина, так что это не просто бесполезная работа. Цель NASA - показать, что спутники могут обходиться относительно дешево, в надежде на прирост интереса к частному их использованию. Так что, если вы радовались, запуская воздушного змея, приготовьтесь быть сильно униженными, так как человек, который сможет справиться с этим заданием будет наблюдать за вашим змеем из космоса.
1. Лифт 2010
Хорошо, призовой фонд здесь не самый большой (только $ 4 млн по сравнению с $ 25 млн Ричарда Брэнсона), но если эту задачу решить, все представление обо всем абсолютно поменяется.
Премия Лифт 2010 уйдет тому, кто спроектирует космический лифт. Это не метафора, в буквальном смысле лифт более чем 100 км, который сможет отправить в космическое пространство. Идеально подходит для матерей астронавтов, которые забыли свой обед дома перед выходом на работу на Международную космическую станцию.
Приз также делится на несколько частей. Если вы создадите экономически эффективный способ сделать так, чтобы лифт не ломался ( что очень важно, ведь снаружи кислорода нет), вы получите миллион долларов. Так что, если вы скорее "человек идеи", а не "человек дела" - это ваш шанс.
Команда из Сиэтла выиграла $ 900 000 несколько лет назад за разработку альпинистского троса длиной 914,4 м. Не совсем космос, но все равно чертовски высоко.
www.qwrt.ru
Одну из знаменитых "проблем тысячелетия" решил математик из Казахстана
71-летний профессор Мухтарбай Отелбаев может стать обладателем премии в один миллионов долларов
71-летний профессор Мухтарбай Отелбаев (Mujtarbay Otelbayev) может стать обладателем премии в один миллионов долларов, которую в 2000 году учредил частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) в Массачусетсе за решение математической задачи из списка, определенного институтом как «проблемы тысячелетия» (Millenium Prize Problems). Это, как сказано в положении о премии, «важные классические задачи, решение которых не найдено в течение многих лет».
Мухтарбай Отелбаев в настоящее время – директор математического института при Евразийском национальном университете имени Л.Гумилева в Алматы. В распространенном 10 января пресс-релизе университета сообщается о том, что он завершил и опубликовал в казахстанском «Математическом журнале» работу под названием «Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса».
Эта задача считается одной из самых важных задач гидродинамики, и последней из нерешенных проблем классической механики. Мухтарбай Отелбаев начал заниматься ею еще в 1980 году, то есть задолго до возникновения института Клэя. Решение, представленное казахским ученым, должно будет пройти экспертизу математического сообщества, на что, возможно, уйдет около года. В случае его подтверждения дополнительный математический аппарат получат многие инженерные области, в частности, аэронавтика. Вариации уравнений Навье-Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности при формировании прогноза погоды. Одним из применений системы уравнений Навье-Стокса также является описание течений в мантии Земли (это «проблема динамо»).
В своей статье Мухтабар Отелбаев отмечает большое количество работ, посвященных существованию и гладкости решений уравнений Навье-Стокса задолго до того, как эта проблема вошла в список института Клэя. В частности, он обращает внимание на глубокие результаты, полученные советским-российским математиком Ольгой Ладыженской. Свой труд профессор Отелбаев посвятил учителям.
Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в 1 миллион долларов США.
1.Равенство классов P и NP
Эта задача является одной из важнейших задач в теории алгоритмов. В чем ее суть? Предположим, что вы организуете размещение группы из четырехсот студентов университета. Количество мест ограничено, и только сто студентов получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список пар студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы ни одна пара из этого списка не попала в окончательный вариант. Это пример того, что ученые-компьютерщики называют NP-задачей. Легко проверить, будет ли данный выбор ста студентов, предложенный сотрудником, удовлетворительным (т.е. никакая пара студентов из списка вашего коллеги не фигурирует в списке из деканата), однако задача создания такого списка с нуля, кажется абсолютно невыполнимой. Действительно, общее число способов выбора ста студентов из четырехсот претендентов больше, чем количество атомов в известной вселенной! Таким образом, никакая будущая цивилизация не может даже надеяться построить суперкомпьютер, способный решить эту задачу с помощью грубой силы, то есть проверяя все возможные комбинации 100 студентов. Однако эта кажущаяся трудность может только отражать отсутствие изобретательности вашего программиста. В самом деле, одной из нерешенных проблем в области компьютерной науки является определение того, существуют ли вопросы, ответы на которые можно быстро проверить, но которые требуют невозможно долгого времени для решения любым прямым методом. Задачи, подобные той, что указана выше, конечно, кажутся задачами такого рода, но до сих пор никто не смог доказать, что какая-то из них на самом деле так сложна, как кажется, т.е. что действительно нет возможности получить ответ с помощью компьютера. Стивен Кук и Леонид Левин сформулировали задачу сравнения классов P (то есть легко найти) и NP (то есть легко проверить) в 1971 году.
Последней из многочисленных попыток решить эту задачу была попытка индийского математика Винэя Деолаликара. По мнению автора формулировки проблемы, Стивена Кука, это решение было «относительно серьёзной попыткой решить проблему P vs NP». Но, к сожалению, в представленном доказательстве был найден ряд ошибок, которые автор пока не смог исправить.
2.Гипотеза Ходжа
В ХХ веке математики открыли мощный способ исследовать формы сложных объектов. Основная идея метода состоит в том, чтобы выяснить, в какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта склеиванием простых геометрических блоков возрастающей размерности. Эта методика оказалась настолько полезной, что ее обобщали различными способами, в конечном счете давшими мощные инструменты, который позволили математикам сильно продвинуться в каталогизации различных объектов, с которыми они сталкиваются в своих исследованиях. К сожалению, геометрическое происхождение метода стало скрытым в этом обобщении. В некотором смысле было необходимо добавить кусочки, которые не имели геометрической интерпретации. Гипотеза Ходжа утверждает, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, части, называемые циклами Ходжа, являются на самом деле (рациональными линейными) комбинациями геометрических частей, называемых алгебраическими циклами.
3.Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. Отрадно заметить, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман. По-простому, суть проблемы в следующем. Если взять яблоко и обтянуть его резиновой пленкой, то мы, с помощью деформаций, не разрывая пленку, можем превратить яблоко в точку или кубик, но никоим образом не сможем превратить его в бублик. Кубик, трехмерная сфера и даже трехмерное пространство идентичны друг другу, с точностью до деформации.
Почти столетие прошло между формулировкой вопроса в 1904 году Анри Пуанкаре и ответом на него Григорием Перельманом, который был дан в 2002 году. Решение Перельмана было основано на теории Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, и использовало результаты на пространстве метрик, принадлежащие Чигеру, Громову и самому Перельману. В своих работах Перельман доказал также геометрическую гипотезу Уильяма Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.
4.Гипотеза Римана.
Однажды у знаменитого математика Давида Гильберта спросили: «Каковы будут ваши первые действия, если вы проспите 500 лет и проснетесь?» — «Я спрошу, доказана ли гипотеза Римана». Гипотеза Римана является, наверное, самой известной (наряду с гипотезой Пуанкаре) из семи задач тысячелетия. Многие алгоритмы и утверждения в теории чисел были сформулированы с допущением, что вышеуказанная гипотеза верна. Таким образом, доказательство справедливости гипотезы Римана
5. Теория Янга — Миллса.
Законы квантовой физики в мире элементарных частиц играют ту же роль, что и законы Ньютона классической механики в макроскопическом мире. Почти полвека назад Янг и Миллс ввели новую замечательную концепцию для описания элементарных частиц с помощью структур, которые встречаются также в геометрии. Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой большей части теории элементарных частиц, и ее предсказания были проверены во многих экспериментальных лабораториях, но ее математическая основа остается неясной. Успешное применение теории Янга-Миллса для описания сильных взаимодействий элементарных частиц зависит от тонкого квантово-механического свойства, которое называют дефектом массы: квантовые частицы имеют положительную массу, хотя классические волны распространяются со скоростью света. Это свойство было обнаружено физиками в экспериментах и подтверждено компьютерным моделированием, но оно до сих пор непонятно с теоретической точки зрения. Прогресс в создании теории Янга-Миллса и дефекта массы потребует новых фундаментальных идей как в физике, так и в математике.
6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Одна из самых важных задач гидродинамики, и последняя из нерешенных проблем классической механики. Волны следуют за нашей лодкой, когда мы плывем по озеру, и турбулентные потоки воздуха сопровождают наш полет в современном самолете. Математики и физики полагают, что объяснение и предсказание таких явлений, как ветер и турбулентность, могут быть найдены на основе понимания решения уравнений Навье-Стокса. Хотя эти уравнения были получены в 19-м веке, наше понимание их остается минимальным. Задача состоит в том, чтобы добиться существенного прогресса на пути к математической теории, которая откроет тайны, скрытые в уравнении Навье-Стокса.
7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Последняя из проблем тысячелетия — это гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Математики всегда были увлечены задачей описания всех целочисленных решений простых алгебраических уравнений, для которых полное решение дал еще Евклид. Однако для более сложных уравнений это сделать крайне тяжело. Действительно, в 1970 году Ю.В. Матиясевич показал, что десятая проблема Гильберта неразрешима, т. е. не существует общего метода определения, когда такие уравнения имеют решения в целых числах. Но в некоторых случаях можно надеяться что-то получить. Данная гипотеза единственный относительно простой способ определения ранга эллиптических кривых, которые, в свою очередь, являются основными объектами изучения современной теории чисел и криптографии.
scientificrussia.ru
Нерешенные задачи математики
Бытует мнение, что сегодня наукой заниматься не выгодно – богатым не стать! Но надеюсь, что сегодняшний пост покажет вам, что это далеко не так. Сегодня я расскажу вам как, занимаясь фундаментальными исследованиями, можно заработать кругленькую сумму.
На любом этапе развития перед любой из наук всегда стоял ряд нерешенных проблем и задач, которые не давали покоя ученым. Физика – холодный термоядерный синтез, математика – гипотеза Гольдбаха, медицина – лекарство от рака и тд. Некоторые из них настолько важны (по тем или иным причинам), что за их решение полагается вознаграждение. И порой это вознаграждение весьма и весьма приличное.
В ряде наук этим вознаграждением может служить Нобелевская премия. Но за математические открытия ее не дают, а поговорить сегодня хотелось бы именно о математике.
Математика – царица наук, предлагает вашему вниманию море нерешенных проблем и интереснейших задач, но поговорим мы сегодня только о семи. Их еще называют «Задачами тысячелетия».
Казалось бы, задачи, да и задачи? Что в них особенного? Дело в том, что решение их не найдено на протяжении уже многих лет, да и за решение каждой из них институт имени Клэя пообещал вознаграждение в размере 1 миллиона долларов! Согласитесь, не мало. Конечно не «Нобелевка», размер которой, примерно, 1,5 миллиона, но тоже сойдет.
Вот их список:
- Равенство классов P и NP
- Гипотеза Ходжа
- Гипотеза Пуанкаре (решена)
- Гипотеза Римана
- Квантовая теория Янга — Миллса
- Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
- Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Итак, давайте рассмотрим подробнее каждую из них.
1.Равенство классов P и NP
Эта задача является одной из важнейших задач в теории алгоритмов, и, держу пари, многие из вас хоть и косвенно о ней слышали. Что это за проблема и в чем ее суть? Представьте, что есть некий класс задач, на которые мы можем быстро давать ответ, то есть быстро находить для них решение. Этот класс задач в теории алгоритмов называю P классом. А есть класс задач, для которых мы можем быстро проверить правильность их решения – это NP класс. И доселе, не известно равны ли эти классы или нет. То есть не известно, можно ли, хоть в теории, найти такой алгоритм по которому мы сможем так же быстро находить решение поставленной задачи, как и проверять его правильность.
Классический пример. Пусть дано множество чисел, например: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Задача: можно ли подобрать среди этих чисел такие, что их сумма даст 100? Ответ: можно, например 50+47+2+1 = 100. Проверить верность решения просто. Четыре раза применим операцию сложения и все. Толи дело подобрать эти числа. На первый взгляд это сделать гораздо сложнее. То есть найти решение задачи сложнее, чем его проверить. С точки зрения банальной эрудиции так оно и есть, но математически это не доказано, и остается надежда на то что это не так.
И что с этого? Что с того, если окажется что классы P и NP окажутся равны? Все просто. Равенство классов означает то, что существуют алгоритмы решения многих задач, которые работают гораздо быстрее, чем ныне известные (как было сказано выше).
Естественно, была предпринята далеко не одна попытка доказать или опровергнуть эту гипотезу, но ни одна не увенчалась успехом. Последней была попытка индийского математика Винэя Деолаликара. По мнению автора формулировки проблемы, Стивена Кука, это решение было «относительно серьёзной попыткой решить проблему P vs NP». Но, к сожалению, в представленном доказательстве был найден ряд ошибок, которые автор пообещал исправить.
2.Гипотеза Ходжа
Сложное есть сумма простых составляющих. В результате изучения сложных объектов математики разработали методы их аппроксимации посредствам склеивания объектов возрастающей размерности. Но пока не выяснено, до какой степени можно проводить подобного рода аппроксимацию, и остается неясна геометрическая природа некоторых объектов, которые используются при аппроксимации.
3.Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. Отрадно заметить, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман, по совместительству гений-затворник. О нем можно много и интересно рассказывать, но сосредоточимся на самой гипотезе.
Формулировка:
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Или обобщенная гипотеза Пуанкаре:
Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
По-простому, суть проблемы в следующем. Если взять яблоко и обтянуть его резиновой пленкой, то мы, с помощью деформаций, не разрывая пленку, можем превратить яблоко в точку или кубик, но никоим образом не сможем превратить его в бублик. Кубик, трехмерная сфера и даже трехмерное пространство идентичны друг другу, с точностью до деформации.
Не смотря на столь простую формулировку, гипотеза оставалась не доказанной на протяжении сотни лет. Хотя в математике, порой, чем проще формулировка, тем сложнее доказательство (все помним о Великой теореме Ферма).
Вернемся к товарищу Перельману. Этот господин знаменит еще тем, что отказался от положенного ему миллиона, заявив следующее: «Зачем мне ваши деньги, если у меня в руках вся Вселенная?» Я бы так не смог. Вследствие отказа выделенный миллион был пожалован молодым французским и американским математикам.
Напоследок хотелось бы заметить, что гипотеза Пуанкаре не имеет совершенно никакого практического применения(!!!).
4.Гипотеза Римана.
Гипотеза Римана является, наверное, самой известной (на ряду с гипотезой Пуанкаре) из семи задач тысячелетия. Одной из причин ее известности среди людей профессионально не занимающихся математикой в том, что она имеет весьма простую формулировку.
Все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть равную ½.
Согласитесь, весьма просто. И кажущаяся простота являлась причиной многих попыток доказать сею гипотезу. К сожалению, пока безрезультатно.
Большое количество безрезультатных попыток доказать гипотезу Римана породило сомнение о ее справедливости среди некоторых математиков. Среди них Джон Литлвуд. Но ряды скептиков не столь много числены и большая часть математического сообщества склонны считать, что гипотеза Римана, все же, верна. Косвенным подтверждением этого является справедливость ряда схожих утверждений и гипотез.
Многие алгоритмы и утверждения в теории чисел были сформулированы с допущением, что вышеуказанная гипотеза верна. Таким образом доказательство справедливости гипотезы Римана утвердит фундамент теории чисел, а ее опровержение теорию чисел «пошатнет» в самом основании.
И, напоследок, один довольно известный, но весьма интересный факт. Однажды у Давида Гильберта спросили: «Каковы будут ваши первые действия, если вы проспите 500 лет и проснетесь?» — «Я спрошу, доказана ли гипотеза Римана».
5. Теория Янга — Миллса
Одна из калибровочных теорий квантовой физики с неабелевой калибровочной группой. Данная теория была предложена в середине прошлого века, но долгое время рассматривалась как чисто математический прием, не имеющий никакого отношения к реальной природе вещей. Но позже на основе теории Янга-Миллса были построены основные теории Стандартной модели — квантовая хромодинамика и теория слабых взаимодействий.
Формулировка проблемы:
Для любой простой компактной калибровочной группы квантовая теория Янга — Миллса для пространства существует и имеет ненулевой дефект массы.
Теория отлично подтверждается результатами экспериментов и результатам компьютерного моделирования, но теоретического доказательства не получила.
6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Одна из самых важных задач гидродинамики, и последняя из нерешенных проблем классической механики.
Уравнение Навье—Стокса дополненное уравнениями Максвелла, уравнениями переноса тепла и тд, используется при решении многих задач электрогидродинамики, магнитогидродинамики, конвекции жидкосте и газов, теплодифузии и тд.
Сами уравнения представляют из себя систему уравнений в частных производных. Уравнения состоят из двух частей:
- уравнения движения
- уравнения неразрывности
Нахождение полного аналитического решения уравнений Навье—Стокса сильно осложняется их нелинейностью и сильной зависимостью от граничных и начальных условий.
7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Последняя из проблем тысячелетия — это гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера.
Гипотеза утверждает, что
ранг эллиптической кривой r над Q равен порядку нуля дзета-функции Хассе—Вейля
E(L,s) в точке s = 1.
Данная гипотеза единственный относительно простой способ определения ранга эллиптических кривых, которые, в свою очередь, являются основными объектами изучения современной теории чисел и криптографии.
Вот и все проблемы тысячелетия. Прошу прощения, за то, что некоторые проблемы освещены гораздо меньше остальных. Это связано с отсутствием информации по данным проблемам и невозможностью довольно просто (без привлечения громоздкой и сложной математики) изложить их суть. За решение каждой из проблем институт Клея объявил награду в 1 миллион долларов. Дерзайте! Есть шанс неплохо заработать, двигая вперед фундаментальную науку, ведь шесть из семи проблем пока так и не дождались своего решения.
www.reshim.su
Задачи тысячелетия ≪ Scisne?
По состоянию на 2014 год только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена Филдсовская премия за её решение была присуждена Григорию Перельману, который от неё отказался.
После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Попробуем объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.
Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (Polynomial time) — для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.Также существуют NP-задачи (Non-deterministic Polynomial time), найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.
Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.
На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:
| Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. |
Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.
В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.
Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11...). С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 — 2 простых числа, для 10 — уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.
Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Для уравнения x2 + y2 = z2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.
В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик — нельзя». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.
Заключение
В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».
Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.
scisne.net
Премия института Клэя | Математика, которая мне нравится
Математическим институтом Клэя в Кембридже, штат Массачусетс (CMI) определены семь задач, за решение которых дается премия. Были отмечены некоторые из наиболее сложных проблем, с которыми математики бились на рубеже второго тысячелетия. Это было сделано для того, чтобы донести до широкой общественности тот факт, что математика изобилует важными нерешенными задачами, чтобы подчеркнуть важность работы, направленной на решение самых глубоких, самых сложных проблем, и признать историческое значение достижений в области математики.
О премии было объявлено на встрече в Париже, состоявшейся 24 мая 2000 года в Коллеж де Франс. Тогда были представлены три лекции. Тимоти Гауэрс говорил о важности математики, Майкл Атья и Джон Тейт говорили о самих задачах.
Семь задач тысячелетия были выбраны Научно-консультативным советом института, который обсуждал их с ведущими специалистами всего мира. В центре внимания совета были важные классические задачи, которые не поддавались решению в течение многих лет.
Следуя решению Научно-консультативного совета, совет директоров института Клэя определил призовой фонд в 7 миллионов долларов за решение этих задач, с выделением $ 1 млн. долларов за решение каждой задачи.
Заметим, что одной из семи задач является гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, которая находится также в списке из двадцати трех задач, представленном Давидом Гильбертом в Париже 9 августа 1900 года.
Итак, вот эти задачи.
Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера
Математики всегда были увлечены задачей описания всех целочисленных решений алгебраических уравнений типа
Евклид дал полное решение для данного уравнения, но для более сложных уравнений это сделать крайне тяжело. Действительно, в 1970 году Ю.В. Матиясевич показал, что десятая проблема Гильберта неразрешима, т. е. не существует общего метода определения, когда такие уравнения имеют решения в целых числах. Но в некоторых случаях можно надеяться что-то получить. Когда решения являются точками абелева многообразия, Бирч и Свиннертон-Дайер утверждают, что размер группы рациональных точек связан с поведением соответствующей дзета-функции вблизи точки . В частности, эта удивительная гипотеза утверждает, что если , то существует бесконечное число рациональных точек (решений), и наоборот, если , то существует лишь конечное число таких точек.
Гипотеза Ходжа
В ХХ веке математики открыли мощный способ исследовать формы сложных объектов. Основная идея метода состоит в том, чтобы выяснить, в какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта склеиванием простых геометрических блоков возрастающей размерности. Эта методика оказалась настолько полезной, что ее обобщали различными способами, в конечном счете давшими мощные инструменты, который позволили математикам сильно продвинуться в каталогизации различных объектов, с которыми они сталкиваются в своих исследованиях. К сожалению, геометрическое происхождение метода стало скрытым в этом обобщении. В некотором смысле было необходимо добавить кусочки, которые не имели геометрической интерпретации. Гипотеза Ходжа утверждает, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, части, называемые циклами Ходжа, являются на самом деле (рациональными линейными) комбинациями геометрических частей, называемых алгебраическими циклами.
Уравнение Навье-Стокса
Волны следуют за нашей лодкой, когда мы плывем по озеру, и турбулентные потоки воздуха сопровождают наш полет в современном самолете. Математики и физики полагают, что объяснение и предсказание таких явлений, как ветер и турбулентность, могут быть найдены на основе понимания решения уравнений Навье-Стокса. Хотя эти уравнения были получены в 19-м веке, наше понимание их остается минимальным. Задача состоит в том, чтобы добиться существенного прогресса на пути к математической теории, которая откроет тайны, скрытые в уравнении Навье-Стокса.
Задача о равенстве классов P и NP
Предположим, что вы организуете размещение группы из четырехсот студентов университета. Количество мест ограничено, и только сто студентов получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список пар студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы ни одна пара из этого списка не попала в окончательный вариант. Это пример того, что ученые-компьютерщики называют NP-задачей. Легко проверить, будет ли данный выбор ста студентов, предложенный сотрудником, удовлетворительным (т.е. никакая пара студентов из списка вашего коллеги не фигурирует в списке из деканата), однако задача создания такого списка с нуля, кажется абсолютно невыполнимой. Действительно, общее число способов выбора ста студентов из четырехсот претендентов больше, чем количество атомов в известной вселенной! Таким образом, никакая будущая цивилизация не может даже надеяться построить суперкомпьютер, способный решить эту задачу с помощью грубой силы, то есть проверяя все возможные комбинации 100 студентов. Однако эта кажущаяся трудность может только отражать отсутствие изобретательности вашего программиста. В самом деле, одной из нерешенных проблем в области компьютерной науки является определение того, существуют ли вопросы, ответы на которые можно быстро проверить, но которые требуют невозможно долгого времени для решения любым прямым методом. Задачи, подобные той, что указана выше, конечно, кажутся задачами такого рода, но до сих пор никто не смог доказать, что какая-то из них на самом деле так сложна, как кажется, т.е. что действительно нет возможности получить ответ с помощью компьютера. Стивен Кук и Леонид Левин сформулировали задачу сравнения классов P (то есть легко найти) и NP (то есть легко проверить) в 1971 году.
Теория Янга-Миллса и дефект массы
Законы квантовой физики в мире элементарных частиц играют ту же роль, что и законы Ньютона классической механики в макроскопическом мире. Почти полвека назад Янг и Миллс ввели новую замечательную концепцию для описания элементарных частиц с помощью структур, которые встречаются также в геометрии. Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой большей части теории элементарных частиц, и ее предсказания были проверены во многих экспериментальных лабораториях, но ее математическая основа остается неясной. Успешное применение теории Янга-Миллса для описания сильных взаимодействий элементарных частиц зависит от тонкого квантово-механического свойства, которое называют дефектом массы: квантовые частицы имеют положительную массу, хотя классические волны распространяются со скоростью света. Это свойство было обнаружено физиками в экспериментах и подтверждено компьютерным моделированием, но оно до сих пор непонятно с теоретической точки зрения. Прогресс в создании теории Янга-Миллса и дефекта массы потребует новых фундаментальных идей как в физике, так и в математике.
Гипотеза Римана
Некоторые числа имеют особое свойство, они не могут быть выражены как произведение двух меньших чисел, например, 2, 3, 5, 7 и т.д. Такие числа называются простыми, и они играют важную роль как в чистой математике, так и в ее приложениях. Распределение таких простых чисел среди всех натуральных чисел не является упорядоченным, однако немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман (1826 — 1866) заметил, что частота простых чисел очень тесно связана с поведением сложной функции
которая называется дзета-функцией Римана. Гипотеза Римана утверждает, что все вещественные части так называемых нетривиальных решений уравнения
лежат на некоторой вертикальной прямой. Это было проверено для первых 1500000000 решений. Доказательство того, что это верно для каждого нетривиального решения могло бы пролить свет на многие тайны, окружающие распределение простых чисел.
Гипотеза Пуанкаре (доказана Григорием Перельманом в 2002-2003 гг.)
Если натянуть резинку вокруг поверхности яблока, то можно стянуть его в точку, медленно перемещая его, не разрывая и не позволяя ему выйти за пределы резинки. С другой стороны, если мы представим себе, что эта же резинка как-то была растянута вокруг бублика, то нет никакого способа стянуть ее в точку, не нарушая ни резинки, ни бублика. Мы говорим, что поверхность яблока “односвязная’’, а поверхность бублика — нет. Пуанкаре почти сто лет назад знал, что двумерная сфера фактически характеризуется этим свойством связности, и задал такой же вопрос для трехмерной сферы (множества точек в четырехмерном пространстве, находящихся на единичном расстоянии от начала координат).
Этот вопрос оказался чрезвычайно трудным. Почти столетие прошло между его формулировкой в 1904 году Анри Пуанкаре и ответом на него Григорием Перельманом, который был размещен в препринтах на ArXiv.org в 2002 и 2003 годах. Решение Перельмана было основано на теории Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, и использовало результаты на пространстве метрик, принадлежащие Чигеру, Громову и самому Перельману. В своих работах Перельман доказал также геометрическую гипотезу Уильяма Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.
Источник: http://www.claymath.org/millennium/
hijos.ru
