Самое большое число известное науке: Самое большое число в мире: как называется

Самое большое число в мире: как называется

Содержание

Считается, что концепция чисел впервые возникла, когда доисторические люди начали использовать свои пальцы для подсчета чего-либо. С тех пор человечество прошло долгий путь. Теперь мы используем калькуляторы и компьютеры для подсчета самых больших чисел. И даже появились названия для чисел, которые настолько велики, что их с трудом можно представить.

Бесконечность счетных чисел

Казалось бы, ответ на вопрос о том, каково самое большое число в математике — очень прост.  Бесконечность, верно? Но это не совсем правильно. Ведь бесконечность — вовсе не число, а концепция. Идея.

Бесконечность (infinitum) — это понятие, которое в переводе с латинского означает «без границ». Определение бесконечности в математике гласит, что независимо от того, насколько велико число, вы всегда можете добавить к нему 1, и оно станет больше.

Поэтому, строго говоря, не существует такого понятия, как самое большое число в мире. Можно лишь назвать наибольшее число, которому дали конкретное название.

Вот некоторые наиболее известные названия больших чисел:

Как называется самое большое простое число

Простое число — то, которое делится только на себя и на единицу. В конце 2018 года  американец Патрик Лярош представил научному миру самое большое простое число.

• Длина его — 24 862 048 символов. Для сравнения: в эпохальном произведении Л.Н. Толстого «Война и мир» около 6-7 миллионов символов, если учитывать знаки препинания и пробелы.
• Это число можно записать следующим образом: 2^82589933-1
• А читается оно так: два в степени 82589933 минус один.
• Существует целый онлайн-проект GIMPS, нацеленный как раз на поиск самых больших простых чисел. В нем принимают участие математики из разных стран. Поэтому новые рекордсмены появляются часто. Работают ученые, что называется, не за страх, а за деньги. Ведь тому, кто откроет следующее наибольшее простое число Мерсенна достанется 3000 долларов.

Какое самое большое число в мире

В 1980 году в Книгу рекордов Гиннеса вошло число Грэма (оно же G64 или G), названное в честь американского математика Рональда Грэма. Оно является наибольшим числом, которое когда-либо использовалось в важном математическом доказательстве. Речь идет про теорию Франка Рамсея.

Кратко об этой теории: представим себе N-мерный куб, его вершины в случайном порядке соединены красными или синими отрезками-линиями. А наша задача — понять, до какого значения N возможно (если по-разному закрашивать ребра куба), избежать ситуации, при которой одна плоскость в кубе будет окрашена одним цветом. То есть у нас не должен получиться одноцветный «конвертик».

Математики позакрашивали кубик и так и эдак, получилось, что до шестимерного куба можно исхитриться и сделать, чтобы линии одного цвета, соединяющие четыре вершины, не лежали в одной плоскости. А вот с семимерным, как выяснили Грэм и Ротшильд, такой фокус уже не провернешь. И с восьмимерным. И… «и так далее», которое, впрочем, не бесконечно, а заканчивается фантастически гигантским числом. Вот его-то и именуют числом Грэма. Кстати, в настоящее время решение Грэма и Ротшильда устарело. Математики выяснили, что 6-7-8-9-10-11-12-мерные кубы все же можно покрасить без «конвертов». Но где-то в промежутке между 13 и числом Грэма гарантированно есть число выше которого «конверты» в любом случае будут.

Число Грэма получило всемирное признание в 1977 году, когда известный популяризатор науки Мартин Гарднер написал об этом в Scientific American.

И хотя с тех пор в математической науке были и другие кандидаты на титул самого большого числа, «детище» Грэма является самым распиаренным и общеизвестным. И если вы слышали про «гугольное семейство»:

• гугол — 10¹⁰⁰;
  Или: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• гуголплекс — 10^гугол,

то знайте, что этими числами в математике лишь «разминаются», а число Грэма в немыслимое количество раз больше, чем они. И даже больше, чем число Скьюза, находящееся между 10^{19 и 1,3971672·10316 и приблизительно равное e727,951336108.}

Любопытно, что придумав гугол американский математик Эдвард Казнер хотел показать студентам разницу между невероятно большим числом и бесконечностью. Тогда число Грэма может просто «взорвать мозг».

Возможно ли представить и записать число за гранью понимания

Математики не смогут назвать вам точное количество цифр в числе Грэма, не говоря уже о том, чтобы досчитать до него. Известны лишь последние 50 цифр самого большого числа в мире — это …03222348723967018485186439059104575627262464195387.

А вот цифры, с которых начинается G64 неизвестны, и вряд ли когда-либо будут.

Давайте сравним трех монстров: гугол, гуголплекс и число Грэма.

• Гугол — это количество песчинок, которые могут поместиться во вселенной, умноженное на 10 миллиардов. Итак, представьте себе вселенную, заполненную мелкими песчинками — на десятки миллиардов световых лет над Землей, под ней, перед ней, позади нее — бесконечный песок.

Теперь представьте, что в какой-то момент вы берете одну песчинку, чтобы рассмотреть ее под мощным микроскопом. И видите, что на самом деле это не единственное зерно, а 10 миллиардов микроскопических зерен, а все вместе они размером с песчинку. Если бы это было так для каждой отдельной песчинки в этой гипотетической вселенной,  то общее количество этих микроскопических зерен было бы гуголом.

• Для количественной оценки гуголплекса астроном и астрофизик Карл Саган привел пример заполнения всего объема наблюдаемой вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно 1,5 микрометра. Исходя из этого, общее количество различных комбинаций, в которых эти частицы могут быть расположены, будет равно примерно одному гуголплексу.
• А теперь представим, что гуголплекс — это даже не песчинка, а крохотная точка, которую можно рассмотреть лишь в самый мощный микроскоп. И у нас вся вселенная заполнена такими крохотными точками. Так вот, даже это не идет ни в какое сравнение с числом Грэма. Но что, если мы хотим использовать все пространство наблюдаемой вселенной для его записи (предположим, что запись каждой цифры занимает как минимум объём Планка)? Увы, у нас это не выйдет! Но всегда можно пойти другим путем.

Как записать G64 с помощью метода Кнута

В 1976 году американский ученый Дональд Кнут предложил понятие сверхстепеней или нотацию Кнута. Это метод, позволяющий при помощи стрелочек, направленных вверх, записывать очень большие числа. Возведение в степень обозначается одной стрелкой вверх: ↑.

Вот как выглядит эта нотация: a ↑ b = ab = a × a × a × …, и так b раз.

• Например 3↑3 = 3³.
• Гугол записывается так 10↑10↑2.
• А гуголплекс — 10↑10↑10↑2

Важной особенностью стрелок вверх является то, что они растут очень быстро. Экспонентация растет гораздо быстрее, чем умножение. 2 × 10 — это всего лишь 20, но 2↑10 = 1024. Таким же образом, каждый новый уровень стрелок растет намного быстрее, чем предыдущий уровень.

Если мысленно представить себе степенную башню из троек 3↑↑↑4 то получится конструкция, размером от Земли до Марса. А ведь мы еще даже не дошли до «нижней ступеньки», ведущей нас к числу Грэма.

Мы можем описать число Грэма огромным набором этих стрелок вверх.

Проще всего думать об этом как об итерационном процессе. Мы начинаем снизу с g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3, а затем создаем вторую строку (назовем ее g 2) с g 1 стрелками между тройками.

Тогда g 3 — это две тройки, разделенные g 2 стрелками вверх и так далее, пока g 64 с g 63 стрелками между тройками не будет числом Грэма.

Если выбрать продолжительность жизни, равную числу Грэма вместо бессмертия, то результат будет практически одинаков. Даже если предположить, что условия во Вселенной, в Солнечной системе и на Земле вечно останутся неизменными, человеческий мозг никак не мог бы выдержать столь длинный промежуток времени без пагубных изменений.

Самое большое число — 24СМИ

Содержание

• Самое большое число
• Внесистемные числа

Из школьного курса известно, что наибольшего числа не существует. Ведь если к самому большому числу прибавить хотя бы единицу, то получим еще большее число. Школьник с легкостью скажет, что, например, самое большое двузначное число — 99, а трехзначное — 999 и т.д.

Существует два алгоритма наименования чисел – английский и американский.

В американском названия больших чисел строятся следующим образом: сначала идет латинское порядковое числительное, а затем добавляется суффикс «иллион». Исключение – миллион. Далее получаются числа: триллион, квадриллион, квинтиллион. После идут секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Такой способ используют в США, Канаде, России и Франции.

Американский алгоритм наименования чисел

Английский алгоритм используют в Испании и Великобритании, а так же в ряде бывших колоний. Здесь названия строятся так: к латинскому числительному прибавляют суффикс «иллион», к следующему числу (которое больше в 1000 раз) уже добавляют суффикс «иллиард». После триллиона идет триллиард, после квадриллион, квадриллиард и т. д. Получается, что по английскому и американскому алгоритму одни и те же большие числа называются по-разному.

Читайте по теме: Самое маленькое число

В русский язык из английской системы пришел только миллиард (109), который американцы называют биллионом. Иногда в России употребляют слово триллиард, т.е. 1000 триллионов или квадриллион.

Самое большое число

Самое большое простое число в мире – 274207281 – 1, которое содержит 22 338 618 десятичных цифр (простое число Мерсенна). Значение нашли в 2015 году в ходе проекта по распределенному поиску простых чисел Мерсенна GIMPS. Поясним, что простыми называются натуральные (целые положительные) числа, имеющие только два делителя — единицу и само себя. Например, 2, 3, 5, 7 — простые числа. Список продолжают 11, 13, 17, 19… Кроме двойки все числа нечетные, иначе бы делились не только на единицу и себя, но и на два. Значит, найденное простое число еще и самое большое из нечетных.

Маренн Марсен и самое большое простое число

По утверждению Евклида, простых чисел бесконечное множество, значит, наибольшего простого числа нет. Ученые до сих пор ищут числа-рекордсмены. И тому есть разумное объяснение. Всемирная организация Electronic Frontier Foundation учредила награды за подобные открытия: чем больше найденное число, тем выше награда.

Есть специальный способ проверки простоты чисел, который называется тест Люка-Лемера. Правда, предназначен он исключительно для чисел Мерсенна. Что же это за числа? Это вид натуральных чисел, расположенных в определенной последовательности. Имя им дал французский математик Мерсенн Марен. Вид числа Мерсенна такой:

Mn = 2n – 1,

где n — натуральное число.

При n = 1, 2, 3, 4, … числа Мерсенна образуют последовательность, начинающуюся с 1, 3, 7, 15. Затем идут 31, 63, 127. Продолжают ряд 255, 511, 1023, 2047 и т.д.

Такие числа используют в криптографии, например, для усовершенствования банковских кодов.

Внесистемные числа

Кроме чисел, которые записаны при помощи английской или американской систем, известны внесистемные числа. У них есть собственные названия, в которых нет латинских префиксов. Для понимания сначала рассмотрим запись латинскими числительными.

Единица – это 100, десять — 101 и так далее: миллиард — 109, триллион — 1012, квадриллион — 1015, квинтиллион — 1018, секстиллион — 1021, септиллион — 1024, октиллион — 1027, нониллион — 1030, дециллион — 1033.

С помощью приставок можно и дальше выводить числа: андециллион, дуодециллион, тридециллион и так далее. Но нужны собственные названия чисел, а тут только составные названия. Поэтому по этой системе собственных имен еще только три — вигинтиллион — 1063, центиллион — 10303, миллеиллион — 103003.

В миллеиллионе 3003 нуля

Число с собственным, а не составным названием больше 103003 получить невозможно. Однако числа больше миллеиллиона известны – это внесистемные числа.

Самое маленькое внесистемное число носит название мириада. Означает сотню сотен, т.е. 10000.

Далее идет гугол. Это десять в сотой степени — 1010100. Единица со ста нулями. О гуголе впервые написали в 1938 году. Американский математик Эдвард Каснер сказал, что назвать большое число таким образом предложил племянник. А популярным это название стало после того, как в честь него назвали поисковик «Google».

Число гугол

Далее встречается число асанкхейя. Это 1010140. Следом идет число гуголплекс. Его придумал тот же Каснер с племянником. Означает 10 в степени 10 в степени 100. Или единица с гуголом нулей.

Еще больше гуголплекса число Скьюза. Его предложил Скьюз в 1933 году во время доказательства гипотезы Риманна о простых числах.

Обозначается — Sk1.

Есть второе число Скьюза. Обозначается как Sk2. Вводится, если гипотеза Риманна не справедлива. Второе число Скьюза равно

Но и это число не предел. Самое большое число, которое применяется в математическом доказательстве, это число Грэма. Его использовали впервые в 1977 году в доказательстве оценки в теории Рамсея.

Число выражено в 64-уровневой схеме, вывел которую Кнут в 1978 году. Ученый придумал понятие сверхстепень и предложил записывать ее стрелками вверх. В итоге число Грэма G63, или просто G, — самое большое число в мире. 80

Десять в восьмидесятой степени — 1 с 80 нулями — это довольно массивное число, обозначающее примерное число элементарных частиц в известной вселенной, и, говоря элементарные частицы, мы не имеем в виду микроскопические частицы — мы говорим о куда меньших вещах вроде кварков и лептонов — о субатомных частицах. Это число в США и современной Великобритании называют «сто квинквавигинтиллионов». Вроде бы, несложно понять, что это число обозначает количество мельчайших частиц в нашей Вселенной, однако это самое маленькое и простое число в нашем списке.

Один гугол

Слово гугол, несколько измененное, стало часто используемым в современности, благодаря популярной поисковой системе. У этого числа есть интересная история — достаточно просто погуглить. Термин был придуман Милтоном Сироттой в 1938 году, когда ему было 9 лет. И хотя это относительно абстрактное число, и его существование объясняется необходимостью технического существования, ему все-таки нашли применение.

Алексис Лемер поставил мировой рекорд, рассчитав корень тринадцати из стозначного числа. 43,112,609 – 1

Третье по величине число в этом списке — это число всех планковых объемов во Вселенной, и в нем 185 цифр. А в этом числе почти 13 миллионов цифр. Чем это число важно? Это самое большое из известных сегодня простых чисел. Его обнаружили в августе 2008 года в ходе Great Internet Messene Prime Search (GIMPS).

Гуголплекс

Вы наверняка слышали это слово, хотя бы в фильме «Назад в будущее», когда доктор Эммет Браун бормотал «она одна на миллион, одна на миллиард, одна на гуголплекс». Что такое гуголплекс? Помните длину гугола? Единица и сто нулей. А гуголплекс — это десять в степени гугол. Это больше, чем число всех частиц в известной нам части вселенной.

Вы можете отметить, что можно возводить десять в степень гуголплекс и будет еще больше, и так далее, и окажетесь совершенно правы.

Числа Скьюза

Число Скьюза — это верхний предел для математической задачи π(x) > Li(x), хоть и просто выглядящей, но крайне сложной на самом деле. По существу, число Скьюза доказывает, что число x существует и нарушает это правило, если предположить, что гипотеза Римана верна, а число x меньше, чем 10^10^10^36, первое число Скьюза. n3. Лучший способ его представить — разложить по полочкам. Первый слой — это 3↑↑↑↑3, что уже невероятно много. Следующий слой — это множество стрелок между тройками. Возьмите эти стрелки и поместите между следующими тройками. Это умножается в 64 раза. Даже сам Грэм не знает первое число, но последние десять вот: 2464195387. Вся наблюдаемая вселенная слишком мала, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма.

∞. Бесконечность

Это число известно всем и каждому, оно часто используется для преувеличений — как какой-нибудь «многоллион». Однако это число намного сложнее, чем большинство может представить, и если вы могли представить числа, идущие до этого пункта, именно это число очень странное и противоречивое. Согласно правилам бесконечности, есть бесконечное число нечетных и четных чисел в бесконечности, однако только половина от всех чисел может быть четной. Бесконечность плюс один равна бесконечности, бесконечность минус один равна бесконечности, бесконечность плюс бесконечность равна бесконечности, деленная пополам — тоже бесконечность, бесконечность минус бесконечность — никто не знает, бесконечность, деленная на бесконечность, будет, скорее всего, 1. 80 субатомных частиц, но это только известная вселенная. Некоторые предполагают, что вселенная бесконечна. Если это так, то математически достоверно, что есть другая Земля где-то там, где каждый атом складывается таким же образом, как и мы, и наша Земля. Шанс того, что копия Земли существует, невероятно мал, но в бесконечной вселенной это не только может произойти, но и бесконечно много раз.

В бесконечность верят не все. Израильский профессор математики Дорон Зильбергер утверждает, что по его мнению, числа не будут продолжаться вечно, и найдется настолько большое число, что когда вы добавите к нему единицу, вы придете к нулю. И хотя это число едва ли когда будет обнаружено и едва ли кто сможет его вообразить, бесконечность является важной частью математической философии.

∞ + 1

Простите, но этот пункт здесь очень важен.

Самое большое число в мире или самая большая величина

Сейчас появились числа, которые настолько велики, что их с трудом можно представить. А когда-то люди считали на пальцах! Рассказываем про самые большие и самые маленькие числа.

Сложно сказать, как давно люди научились считать. Скорее всего, для счета наши первобытные предки сначала использовали свои пальцы, объекты окружающего мира и тому подобное. С тех пор математика прошла долгий путь. И даже появились названия для чисел, которые настолько велики, что их с трудом можно представить. Каковы же самая большая и маленькая величины? 

Бесконечность

Многих мучил вопрос, что в математике самое большое. На ум сразу приходит бесконечность. Но бесконечность — не число, а концепция. Определение бесконечности в математике гласит, что независимо от того, насколько велико число, вы всегда можете добавить к нему 1, и оно станет больше.

Поэтому, строго говоря, не существует такого понятия, как самое большое число в мире или самая большая величина. Можно лишь назвать наибольшее число, которому дали конкретное название.

«Миллиард», например, уже понятен для нас. В западных странах миллиард еще называют «биллионом». Этими большими числами мы активно оперируем, например, обсуждая бюджетные ассигнования. Вселенная возникла из Большого взрыва всего 13,4 миллиарда лет назад. А вот для людей несколько веков назад миллиард был, по всей видимости, каким-то фантастическим, запредельным числом.

Триллион — число с 12 нулями, квадриллион — с 15, в секстиллионе количество нулей — уже 21. Существует даже название для впечатляющего по величине числа с 300 нулями — новемнонагинтиллион. Такое множество уже современные человек представить не может даже приблизительно. Да, числа, скорее всего, бесконечны, но есть определенный порог, за которым числа становятся настолько большими, что в них нет смысла, кроме того, что технически они могут существовать. 

Самое маленькое число

Точно также не существует самое маленькое число — как бы вы его не уменьшали, всегда возможен N-1.

Для удобства подсчета в математике принята система цифр и чисел. Цифра — это знак от 0 до 9. Числа складываются из цифр. Они бывают однозначные, двузначные, трехзначные и так далее. Однозначные числа состоят из одной цифры. Принято считать, что самое маленькое однозначное число — это ноль. Его еще называют границей между отрицательным и положительным рядом. 

Число Грэма

Рональд Льюис Грэм — американский математик, оказавший заметное влияние на развитие дискретной математики во второй половине XX века, автор ряда важных работ по планированию выполнения задач, вычислительной геометрии, теории Рамсея

В 1980 году в Книгу рекордов Гиннеса попало число Грэма (оно же G64 или G), названное в честь американского математика. Так называется самое большое число, которое когда-либо использовалось в важном математическом доказательстве. Речь идет про теорию Франка Рамсея.

Кратко об этой теории: представим себе N-мерный куб, его вершины в случайном порядке соединены красными или синими отрезками-линиями. А наша задача — понять, до какого значения N возможно (если по-разному закрашивать ребра куба), избежать ситуации, при которой одна плоскость в кубе будет окрашена одним цветом. То есть у нас не должен получиться одноцветный «конвертик».

Математики позакрашивали кубик и так и эдак, получилось, что до шестимерного куба можно исхитриться и сделать, чтобы линии одного цвета, соединяющие четыре вершины, не лежали в одной плоскости. А вот с семимерным, как выяснили Грэм и Ротшильд, такой фокус уже не провернешь. И с восьмимерным. И… «и так далее», которое, впрочем, не бесконечно, а заканчивается фантастически гигантским числом. Вот его-то и именуют числом Грэма. Кстати, в настоящее время решение Грэма и Ротшильда устарело. Математики выяснили, что 6-7-8-9-10-11-12-мерные кубы все же можно покрасить без «конвертов». Но где-то в промежутке между 13 и числом Грэма гарантированно есть число, выше которого «конверты» в любом случае будут.

Это число имеет настолько большой размер, что вся наблюдаемая вселенная слишком мала, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма. 

Гугол

Эдвард Казнер — американский математик, профессор. Около 1920 года Казнер решил придумать хорошее, заразительное название для большого числа. Когда он ходил с племянниками Милтоном (Milton Sirotta, 1911—1980) и Эдвином Сироттами в Палисейдс (Нью-Джерси), Казнер попросил их подумать о хороших названиях. Милтон сказал «googol».

Гугол — это число с сотней нулей. Оно традиционно входит в топ-10 самых известных больших чисел. Термин был придуман Милтоном Сироттой в 1938 году, когда тому было 9 лет. И хотя это относительно абстрактное число, ему все-таки нашли применение.

Алексис Лемер поставил мировой рекорд, рассчитав корень тринадцати из стозначного числа. Также предполагается, что от одного до полутора гугол лет с момента Большого Взрыва взорвется самая массивная черная дыра. И тогда Вселенная вступит в так называемую «темную эпоху» — конец того мира, каким мы его знаем. 

Самая маленькая величина

В 1899 году (в некоторых источниках — в 1900-м) немецкий физик и по совместительству основоположник квантовой теории Макс Планк предложил особую меру измерения — планковские единицы. -35 метра). Если теория квантовой механики верна, то это расстояние определяет максимальную точность, с которой мы можем определить положение в пространстве. Причем эта точность является фундаментальной и проистекает из физических законов, а не из уровня развития техники или точности измерительных приборов. Следовательно, расстояния меньше планковской длины физически не имеют смысла. 

Это одна из единиц универсальных постоянных в физике, наряду с планковскими массой временем и температурой (физики часто называют их «единицами Бога»). Это численные значения некоторой величины, которые вообще не зависят от каких-либо внешних параметров и не меняются со временем. Предполагается, что на этом уровне господствуют квантовые явления, а гравитация, пространство и время перестают существовать. 

Измерение расстояния

Световой год равняется расстоянию, проходимому светом за год, а это приблизительно 9 460 730 472 580 километров

В метрической системе самая маленькая единица измерения — ангстрем. Он равен десятимиллиардной доле метра.

Мера длины, которая является самой большой, — это километр. Но все очень относительно. Если мы, например, обратимся к единицам измерения расстояния, применяемым в астрономии, то найдем и другие определения. Например, световой год. Световой год равняется расстоянию, проходимому светом за год, а это приблизительно 9 460 730 472 580 километров. Еще одна астрономическая единица, измеряющая расстояния, парсек, равна 31 триллиону километров, или 3,26 световых лет. В начале XX века активно использовалась самая большая величина измерения расстояния — сириометр. Он равен 149 597 870 700 000 км. Однако со временем его вытеснил парсек. 

На сайте могут быть использованы материалы интернет-ресурсов Facebook и Instagram, владельцем которых является компания Meta Platforms Inc., запрещённая на территории Российской Федерации.

математика

число

рекорд

величина

Самый глубокий в мире бассейн открыли в Дубае

Самый глубокий в мире бассейн открыли в Дубае

Это целый подводный мир на 14 млн л пресной воды

11 июля 2021

Марианская впадина: Эверест наоборот

Марианская впадина: Эверест наоборот

Представьте, что на каждый сантиметр вашего тела поставили автомобиль. Примерно такое же вы испытаете в Марианской впадине. Поэтому людей здесь побывало меньше, чем на Луне. «Моя Планета» «спустилась» в Марианскую впадину

28 июля 2022

331386

10 снов, которые потрясли мир

10 снов, которые потрясли мир

Какие сны были вещими, а какие — изменили историю?

11 января 2016

Семья гепардов и левитация: объявлены победители конкурса на лучшее черно-белое фото года

22 сентября 2022

В Дубае планируют построить для туристов 200-метровую Луну

22 сентября 2022

Выяснилось, как всего один час на природе влияет на мозг человека

22 сентября 2022

Мама-туристка рассказала, как сделать перелет с детьми спокойнее

22 сентября 2022

Откуда на крыльях бабочек рисунок?

Наш мир «не нашими» глазами

Почему слоны боятся мышей

Самые большие леса на земле

Рекорды скорости

Кто живет в пустыне 

Почему у человека нет брачного сезона?

Наибольшее известное простое число — frwiki.

{82 \, 589 \, 933} -1}

Это число из 24 862 048 цифр, записанное по основанию десять . Это было обнаружено на7 декабря 2018 г.в Великой Интернет Мерсенна Поиск (GIMPS), и подтвердил ,21 декабря 2018 г..

Евклид уже продемонстрировал , что не существует простое число , которое больше , чем все остальные; что означает, что существует бесконечное количество простых чисел. Несмотря на эту безграничность или из-за нее, многие математики, даже любители, продолжают искать большие простые числа.

С 1992 года все самые большие простые числа, известные на данную дату, являются простыми числами Мерсенна . Вдекабрь 2018, восемнадцать наибольших известных простых чисел (в этом смысле) принадлежат Мерсенну, а девятнадцатое — многочлену чисел Мерсенна.

Быстрое преобразование Фурье реализован с тестом на простоту Lucas-Лехмер для чисел Мерсены быстро по сравнению с другими известными тестами на простоту для других типов номеров. Эта относительная скорость объясняет большое количество чисел Мерсенна среди самых больших известных простых чисел.

Резюме

• 1 Рекорд
• 2 награды
• 3 История
• 4 Примечания и ссылки
  • 4.1 Примечания
  • 4.2 Ссылки
• 5 См. Также
  • 5.1 Библиография
  • 5.2 Статьи по теме

Запись

Рекорд принадлежит 2 ^{82 589 933}  — 1, число Mersenne, испытанное первым Патриком Ларошем в рамках программы GIMPS ,7 декабря 2018 г..

Это число, записанное по основанию 10, состоит из 24 862 048 цифр, что почти на миллион цифр больше по сравнению со старой записью, датированной январь 2018(см. ниже ).

Его первые десять цифр — 1488944457 …, а последние 10 — … 5217902591.

Цена

Программа Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) в настоящее время предлагает вознаграждение в размере трех тысяч долларов участникам, которые загружают и запускают свое бесплатное программное обеспечение и чей компьютер обнаруживает новое простое число Мерсенна с менее чем 100 миллионами цифр.

Фонд Electronic Frontier Foundation предлагает несколько призов за открытие простых чисел. GIMPS также координирует свои долгосрочные усилия по созданию простых чисел, состоящих из более чем 100 миллионов цифр, с Electronic Frontier Foundation с целью получения вознаграждения в размере 150 000 долларов США для победившего участника.

История

Сравнительная хронология вычислений десятичных знаков числа π и простых чисел.

Рекорд самого большого известного простого числа почти всегда находился среди чисел Мерсенна.

В литературе и в таблице ниже простые числа Мерсенна обозначаются следующими обозначениями:

• M n , где присоединенное число n представляет ранг в возрастающей последовательности простых чисел Мерсенна;
• M _p , где индекс p указывает на простой показатель степени 2 в выражении 2 ^p — 1 числа Мерсенна.

Число, удерживавшее рекорд, было M ₁₉ = 524 287 за 144 года.

До 1456 г. нет никаких свидетельств .

Таблица известных мировых рекордов размера простых чисел

Датировано	Первооткрыватель	Машина	Тип	Обозначение	Значение или количество цифр в десятичной системе счисления
До XVI — го  века , это не представляется возможным точно определить расчетные записей наибольшее простое число. Документы, которые дошли до нас для обоснования расчетов, отсутствуют или являются неполными.
1456	анонимный	—	Числа Мерсенна	M4 = M 13	8 191
1460	анонимный	—		M5 = M 17	131 071
1588	Пьетро катальди	—		M7 = M 19	524 287
1732 г. {64} +1} {274177}}}	67 280 421 310 721
1876 ​​г.	Эдвард Лукас	—	Число Мерсенна	M12 = M 127	170 141 183 460 469 230 000 000 000 000 000 000 000
1951 г.	Эме Феррье	—	—	2 148 + 1/17	20 988 936 657 440 586 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1951 г.	Миллер  ( выходит ) и Уиллер	EDSAC1 из Кембриджа	Многочлен числа Мерсенна	180 × (М 127 ) 2 + 1	79 цифр
30 января 1952 г.	Робинсон	SWAC	Числа Мерсенна	M13 = M 521	157 цифр
30 января 1952 г.	Робинсон	SWAC		M14 = M 607	183 цифры
25 июня 1952 г.	Робинсон	SWAC		M15 = M 1279	386 цифр
7 октября 1952 г.	Робинсон	SWAC		M16 = M 2203	664 цифры
9 октября 1952 г.	Робинсон	SWAC		M17 = M 2281	687 цифр
8 сентября 1957 г.	Ризель	БЕСК  (ru)		M18 = M 3217	969 цифр
3 ноября 1961 г.	Гурвиц	IBM 7090		M20 = M 4423	1332 цифры
11 мая 1963 г.	Гиллис  (ru)	ИЛЛИАК 2		M21 = M 9689	2917 цифр
16 мая 1963 г.	Гиллис	ИЛЛИАК 2		M22 = M 9941	2993 цифры
2 июня 1963 г.	Гиллис	ИЛЛИАК 2		M23 = M 11213	3376 цифр
4 марта 1971 г.	Такерман  (ru)	IBM 360/91		M24 = M 19937	6002 цифры
30 октября 1978 г.	Noll  (en) и никель	CDC Cyber 174		M25 = M 21701	6533 цифры
9 февраля 1979 г.	Нолл	CDC Cyber ​​174		M26 = M 23209	6 987 цифр
8 апреля 1979 г.	Нельсон  (en) и Словински  (en)	Крей -1		M27 = M 44497	13 395 цифр
25 сентября 1982 г.	Словински	Крей-1		M28 = M 86243	25 962 цифры
19 сентября 1983 г.	Словински	Cray X-MP		M30 = M 132049	39 751 цифра
1 — го Сентября 1 985	Словински	Крей X-MP / 24		M31 = M 216091	65 050 цифр
1989 г.	Amdahl 6	Амдал 1200	Полиномиальные числа Мерсенна	× М триста девяносто одна тысяча пятьсот восемьдесят один 756839 + 391580 = 391 581 × 2 756 839 — 1	65 087 цифр
19 февраля 1992 г.	Словински, Гейдж и др.	Крей-2	Числа Мерсенна	M32 = M 756839	227 832 цифр
10 января 1994 г.	Словински и Гейдж	Cray C90		M33 = M 859433	258 716 цифр
3 сентября 1996 г.	Словински и Гейдж	Cray T94		M34 = M 1257787	378 632 цифр
13 ноября 1996 г.	Joël Armengaud, Woltman et al. (Проект GIMPS)	Pentium (90  МГц )		M35 = M 1398269	420 921 цифра
24 августа 1997 г.	Гордон Спенс, Вольтман и др. (Проект GIMPS)	Pentium (100  МГц )		M36 = M 2976221	895 932 цифр
27 января 1998 г.	Кларксон, Вольтман, Куровски и др. (Проект GIMPS)	Pentium (200  МГц )		M37 = M 3021377	909 526 цифр
1 — й Июнь 1999	Хайратвала, Вольтман, Куровски и др. (Проект GIMPS)	Pentium (350  МГц )		M38 = M 6972593	2,098,960 цифр
14 ноября 2001 г.	Кэмерон, Вольтман, Куровски и др. (Проект GIMPS)	AMD T-Bird (800  МГц )		M39 = M 13466917	4 053 946 цифр
17 ноября 2003 г.	Шафер, Вольтман, Куровски и др. , МГУ (Проект GIMPS)	Pentium (2  ГГц )		M40 = M 20996011	6 320 430 цифр
15 мая 2004 г.	Финдли, Вольтман, Куровски и др. (Проект GIMPS)	Pentium 4 (2,4  ГГц )		M41 = M 24036583	7 235 733 цифр
18 февраля 2005 г.	Новак, Вольтман, Куровски и др. (Проект GIMPS)	Pentium 4 (2,4  ГГц )		M42 = M 25964951	7816230 цифр
15 декабря 2005 г.	К. Купер , С. Бун, Г. Вольтман, С. Куровски и др. , UCM  (en) (проект GIMPS)	Pentium 4 (с 2  ГГц до 3  ГГц )		M43 ?? = M 30402457	9152052 цифры
4 сентября 2006 г.	К. Купер, С. Бун, Г. Вольтман, С. Куровски и др. , UCM (Проект GIMPS)	Pentium 4 (3  ГГц )		M44 ?? = M 32582657	9 808 358 цифр
23 августа 2008 г.	Эдсон Смит, Джордж Вольтман, Скотт Куровски и др. , UCLA (проект GIMPS)	Intel Core 2 Duo E6600 процессор (2,4  ГГц )		M47 ?? = M 43112609	12 978 189 цифр
25 января 2013 г.	К. Купер, Г. Вольтман, С. Куровски и др. , UCM (Проект GIMPS)			M 57885161	17 425 170 цифр
7 января 2016 г.	К. Купер, Г. Вольтман, С. Куровски, А. Блоссер и др. , UCM (Проект GIMPS)			M 74207281	22 338 618 цифр
26 декабря 2017 г.	J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. (Проект GIMPS)	Процессор Intel i5-6600		M 77232917	23 249 425 цифр
7 декабря 2018 г.	Патрик Ларош (Проект GIMPS)	Intel i5-4590T		M 82589933	24 862 048 цифр

Примечания и ссылки

Заметки

(fr) Эта статья частично или полностью взята из статьи в англоязычной Википедии под названием «  Самое большое известное простое число  » ( см. 82589933-1 — Прайм!  » , На www.mersenne.org ,21 декабря 2018 г.(по состоянию на 24 декабря 2018 г. )

↑ (in) mersenne. org GIMPS: поиск мировых рекордных премий с 1996 года.

↑ M41 испытан 1 декабря 2011 года, как и 41- ^й . См. (В) «  Старые и более ранние этапы развития GIMPS  » .

↑ ^{a b c и d} неизвестно, имеет ли одно или несколько других простых чисел Мерсенна от 41 ^e (M _{24 036 583} ) до 47 ^e (M _{43 112 609} ). Таким образом, в этом интервале классификация носит предварительный характер. Уже 29- ^е  простое число Мерсенна было обнаружено после 30- ^го и 31- ^го , так как M _43112609 была обнаружена за две недели до M _37156667 , меньшего размера. Точно так же 46- ^й (M _42643801 ) был обнаружен через девять месяцев после 47- ^го (M _43112609 ).

↑ (in) «  prime.isthe.com  » ^{( Архив • Wikiwix • Archive.is • Google • Что делать? )} ( ^{Дата обращения:} 16 мая 2017 г. ) Веб-сайт Лэндона Курта Нолла 2 ^43,112,609 — 1 является простым.

Смотрите также

Библиография

• Жан-Поль Делахай , « Замечательные простые числа: путешествие в самое сердце арифметики» , Париж, Белин , сб.  «Для науки»,2000 г., 336  с. ( ISBN  2-84245-017-5 , ISSN  0224-5159 )

Статьи по Теме

• Число простого Мерсенна
• Отличный поиск в Интернете по Мерсенн Прайм

<img src=»//fr. wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>

Простые числа и их использование в криптографии

Простые числа и их использование в криптографии

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мусохранов М.М. 1

1МБОУ «Лицея №9 имени К.Э. Циолковского г. Калуги

Рылова И.Г. 1

1МБОУ «Лицея №9 имени К.Э. Циолковского г. Калуги

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Предлагаемая вашему вниманию исследовательская работа посвящена простым числам и использованию их в кодировании. Данная тема заинтересовала меня, когда я стал изучать простые числа. Больше всего меня удивил тот факт, что ученые всего мира до сих пор активно ищут их. Так проект Great Internet Mersenne Prime Search, перед которым стоит задача поиска большого числа простых чисел особо редкого вида, недавно открыл самое большое простое число, известное на сегодняшний день. В нем 23 249 425 цифр — это достаточно, чтобы заполнить книгу из 9000 страниц. Для сравнения: количество атомов во всей наблюдаемой Вселенной оценивается в число с не более чем сотней знаков. Новое число, которое записывается как 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (два в 77 232 917-й степени минус один), было обнаружено волонтером, который посвятил 14 лет вычислительного времени этому поиску! Но зачем нам знать число, которое растягивается на 23 миллиона знаков? Ведь самые важные числа для нас — это те, которые мы используем для количественного описания нашего мира? Так, да не так. На сегодняшний день большие простые числа повсеместно используются в нашей повседневной жизни, например, в кредитных картах и персональных компьютерах, поэтому постоянно существует потребность в новых простых числах (чем больше, тем лучше) для генерации секретных кодов. Эта информация меня поразила, поэтому и стала темой моего исследования.

Актуальность темы моей работы определяется тем, что в современном мире наука криптография имеет большое значение, поскольку настоящее время – это время информационных войн. Ведь как сказал Натан Ротшильд: «Кто владеет информацией – тот владеет миром». На сегодняшний день без шифрования информации не обходится ни одно государство, организация или предприятие, а средства криптографической защиты применяются повсеместно, в том числе, и для защиты коммерческой информации: электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь — все это защищено секретными кодами, непосредственно основанными на свойствах простых чисел. Поэтому всем нам нужно знать особенности простых чисел и способы применения их в шифровании, чтобы не только развивать технологии, от которых мы зависим, но и сохранять их безопасность.

Цель исследований: выяснить, почему простые числа так важны в современном мире и необходимы для криптографии.

Задачи исследования: для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:

Изучить найденную литературу по данному вопросу.

Выяснить значение терминов «простое число», «криптография», «RSA»

Найти примеры и изучить применение простых чисел в кодировании.

Приобрести навыки научно-исследовательской работы.

Распространить свой опыт кодирования с помощью простых чисел среди учащихся 5 классов.

Гипотеза: простые числа являются основой современной криптографии. Большинство обычных учеников средней школы пользуются кодами с простыми числами каждый день, даже не задумываясь об этом.

Определение простого числа.

Простые числа представляют собой одно из самых интересных математических явлений, которое привлекает к себе внимание ученых и простых граждан на протяжении уже более двух тысячелетий. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться [2].

Простые числа — это, как известно еще из курса элементарной арифметики, те натуральные числа, которые делятся без остатка только на единицу и самое себя. Простые числа называют «кирпичами» в здании математики, «атомами» математики и «генетическим кодом» числа, потому что любое составное число может быть представлено в виде единственно возможного произведения простых чисел. Эта теорема была сформулирована Евклидом и известна как «основная теорема арифметики». Следовательно, простые числа являются первичными элементами, из которых построены все числа. Так же как атомы образуют молекулы. Простые числа образуют составные числа. Интересные факты. Во-первых, число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным числам, ни к простым. Во-вторых, единственным четным числом, относящимся к простым, является, естественно, двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как кроме себя и единицы, делится еще и на два.

Имеет ли этот ряд конец? Этот вопрос поставлен в IX книге «Начал» Евклид и там же дает ответ на него — «За каждым простым числом может быть указано еще одно, большее простое число – ряд простых чисел бесконечен» [1].

Способы нахождения простых чисел.

Выделение простых чисел является сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков пытаются найти формулу, которая позволила бы из множества натуральных чисел выписать простые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий математик древности Эратосфен (рис. 1), живший почти 2 300 лет назад [4].

Рис. 1. Великий математик древности Эратосфен

Он придумал такой способ: записал все числа от единицы до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т. е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.), в конце концов оставались невычеркнуыми только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… Поскольку во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали, то способ получил название “решето Эратосфена”.

В приведенной таблице 1, полученной с помощью решета Эратосфена, можно видеть простые числа из первой тысячи натуральных чисел.

С первого взгляда видно, что простые числа совершенно непредсказуемы. Например, между 1 и 100 простых чисел больше, чем между 101 и 200. Всего в первой тысяче 168 простых чисел. Можно предположить, что если продолжить нашу таблицу, то с каждой тысячей количество простых чисел будет увеличиваться. Но это не так. Уже известно, что, например, среди тысячи чисел между 10100 и 10100 + 1000 находится лишь два простых числа. И эти числа состоят более чем из ста цифр!

Таблица 1

Простые числа из первой тысячи натуральных чисел

Рис. 2. Древнегреческий математик Евклид

Теорема Евклида: «Первых простых чисел существует больше любого указанного числа их».

Конечно, способ Эратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простых чисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простых чисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задача оставалась без ответа. Над поиском максимально больших простых чисел в своё время бились Катальди, Декарт, Ферма, Мерсенн, Лейбниц, Эйлер и многие другие математики. В математике широко известен термин простые числа Мерсенна. Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида

Mp = 2p — 1

где р — другое простое число.

До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 — простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М127=170141183460469231731687303715884105727 — простое. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин доказал, что число М61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 простые. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины.

Масштабный проект по поиску простых чисел GIMPS был запущен в 1997 году, и ныне считается самым длительным непрерывным процессом распределённых вычислений в истории человечества: он продолжается уже почти 20 лет. Сейчас в пиковые моменты в GIMPS участвует 360.000 процессоров с суммарной производительностью 150 трлн операций в секунду. За время работы GIMPS участники этого проекта нашли 14 простых чисел Мерсенна. Последнее из них 274 207 281-1 было обнаружено 07 января 2016 года. Всего на данный момент известно 49 простых чисел Мерсена. В списке самых больших простых чисел, известных на сегодняшний день, десять первых мест занимают числа Мерсенна.

Поиск простых чисел — по крайней мере больших простых чисел — довольно сложная задача, потому что еще никому не удалось найти точную формулу или алгоритм, позволяющий генерировать любые простые числа.

Применение простых чисел в криптографии.

Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов.

В 1975 г. Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману, в то время работавшим в Стэнфордском университете, пришла в голову идея асимметричного шифрования, или «шифрования с открытым ключом». Эта система основана на специальных математических функциях, называемых «односторонними функциями с потайным входом», которые позволяют зашифровывать текст, но делают расшифровку практически невозможной без знания используемого кода. Идея состоит в том, что каждый пользователь имеет пару ключей: открытый и закрытый. Если мы хотим отправить кому-то сообщение, мы зашифровываем это сообщение с помощью открытого ключа — то есть ключа, известного всем. Но только человек, имеющий соответствующий закрытый ключ, может расшифровать это сообщение. Одним из преимуществ такого метода является то, что закрытый ключ никогда не передается и поэтому его не нужно постоянно менять в целях безопасности. Идея метода не совсем проста, но мы можем пояснить ее с помощью аналогии. Представьте себе большой магазин, где продаются сотни тысяч банок с краской разного цвета. Возьмем две любые банки и смешаем краску в разных количествах. Пока все просто. Теперь, если мы покажем кому-нибудь получившийся цвет и попросим «расшифровать», какое количество каких красок использовалось изначально, на такой вопрос будет очень трудно ответить. Именно так работают односторонние функции с потайным входом, которые легко применить в одном направлении, но практически невозможно — в обратном.

Алгоритм шифрования RSA

В августе 1977 г. знаменитый американский писатель и популяризатор науки Мартин Гарднер озаглавил свою колонку по занимательной математике в журнале Scientific American так: «Новый вид шифра, на расшифровку которого потребуются миллионы лет» [3]. После объяснения принципа системы шифрования с открытым ключом он показал само зашифрованное сообщение и открытый ключ N, используемый в этом шифре:

Гарднер призвал читателей попробовать расшифровать сообщение, используя предоставленную информацию, и даже дал подсказку: для решения необходимо разложить число N на простые множители р и q. Более того, Гарднер назначил приз в размере $100 (приличная сумма на тот момент) тому, кто первым получит правильный ответ. Каждый, кто захочет побольше узнать о шифре, писал Гарднер, может обратиться к создателям шифра — Рону Ривесту, Ади Шамиру и Лену Адлеману из Лаборатории информации Массачусетского технологического института. Правильный ответ был получен лишь через 17 лет. Он стал результатом сотрудничества более чем 600 человек. Ключами оказались р = 32769132993266 709549961988190834461413177642967992942539798288533 и q = 3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577, а зашифрованная фраза звучала так: «Волшебные слова — это брезгливый ягнятник».

Алгоритм, представленный Гарднером, известен как RSA — буквенная аббревиатура от фамилий Rivest (Ривест), Shamir (Шамир) и Adleman (Адлеман). Это первое практическое применение придуманной Диффи системы шифрования с открытым ключом, которая повсеместно используется и по сей день. Надежность ее практически гарантирована, потому что процесс расшифровки является невероятно сложным, почти невозможным делом.

На сегодняшний день разложить числа, состоящие из тысячи и более цифр, за соизмеримое с человеческой жизнью время, способны только суперкомпьютеры! Именно с их помощью ученные находят все новые и новые, наибольшие из известных, простые числа.

Представим, что один человек, зашифровав важную информацию, установил на нее пароль (P) равный одному из простых делителей числа (А), сказав другому человеку, что число (А) содержит только два простых делителя и дав ему ключ для расшифровки – число (B), являющееся вторым делителем числа (А). Не трудно понять, что для расшифровки необходимо разделить А на B, чтобы получить пароль Р. Например в элементарном варианте А=111, ключ B=3 тогда пароль равен А/B=37.

Допустим, число А попало к злоумышленнику, и он знает условие о том, что А состоит из 2-х простых делителей. При условии, что А=111 злоумышленнику не составит особого труда даже в уме взломать пароль. Теперь представим ситуацию, когда число А состоит из 2 простых чисел, каждое из которых состоит из тысячи цифр… Если злоумышленник не знает ключа (одного из делителей), для факторизации числа А, состоящего из двух тысяч цифр, ему потребуется, как минимум, суперкомпьютер и большое количество времени его работы!!! Если попытаться попытается разложить произведение — даже при помощи самого быстрого суперкомпьютера — это не получится. Просто не существует такого алгоритма, который справился бы с этой задачей за время жизни Вселенной.

Для применения алгоритма RSA требуется построить открытый и секретный ключи следующим образом.

1. Выбрать два больших простых числа, p и q.

2. Найти их произведение n = p • q и значение ϕ =(р-1)-(q-1)

3. Выбрать число e (1 < e < ϕ), которое не имеет общих делителей с ϕ .

4. Найти число d, которое удовлетворяет условию d • е = k⋅ϕ + 1 для некоторого целого k.

5. Пара значений (e, n) — это открытый ключ RSA (его можно свободно публиковать), а пара (d, n) — это секретный ключ.

Передаваемое сообщение нужно сначала представить в виде последовательности чисел в интервале от 0 до n -1. Для шифрования используют формулу

C = Т^e mod n

где Т — число исходного сообщения,

(e, n) — открытый ключ,

С — число закодированного сообщения, а запись С ^e mod n обозначает остаток от деления x e на n.

Расшифровка сообщения выполняется по формуле

Т = C^d mod n

Это значит, что зашифровать сообщение может каждый (открытый ключ общеизвестен), а прочитать его — только тот, кто знает секретный показатель степени d.

В 2009 году группа ученых из разных стран в результате многомесячных расчетов на сотнях компьютеров смогла расшифровать сообщение, зашифрованное алгоритмом. Если будет построен работающий квантовый компьютер, взлом алгоритма RSA будет возможен за очень небольшое время. При использовании симметричных шифров всегда возникает проблема: как передать ключ, если канал связи ненадежный? Ведь, получив ключ, противник сможет расшифровать все дальнейшие сообщения. Для алгоритма RSA этой проблемы нет, сторонам достаточно обменяться открытыми ключами, которые можно показывать всем желающим.

Где применяют алгоритм RSA на практике? Криптосистема RSA используется в самых различных продуктах, на различных платформах и во многих отраслях. В настоящее время криптосистема RSA встраивается во многие коммерческие продукты, число которых постоянно увеличивается. Также ее используют операционные системы Microsoft, Apple, Sun и Novell. В аппаратном исполнении RSA алгоритм применяется в защищенных телефонах, на сетевых платах Ethernet, на смарт-картах, широко используется в криптографическом оборудовании. Кроме того, алгоритм входит в состав всех основных протоколов для защищенных коммуникаций Internet, в том числе S/MIME, SSL и S/WAN, а также используется во многих учреждениях, например, в правительственных службах, в большинстве корпораций, в государственных лабораториях и университетах. На осень 2000 года технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями.

Технологию шифрования RSA BSAFE используют около 500 миллионов пользователей всего мира. Так как в большинстве случаев при этом используется алгоритм RSA, то его можно считать наиболее распространенной криптосистемой общего (public) ключа в мире и это количество имеет явную тенденцию к увеличению по мере роста Internet.

На начало 2001 года криптосистема RSA являлась наиболее широко используемой асимметричной криптосистемой (криптосистемой открытого (public) ключа) и зачастую называется стандартом де факто. Вне зависимости от официальных стандартов существование такого стандарта чрезвычайно важно для развития электронной коммерции и вообще экономики. Единая система открытого (public) ключа допускает обмен документами с электронно-цифровыми подписями между пользователями различных государств, использующими различное программное обеспечение на различных платформах; такая возможность насущно необходима для развития электронной коммерции. Распространение системы RSA дошло до такой степени, что ее учитывают при создании новых стандартов. При разработке стандартов цифровых подписей, в первую очередь в 1997 был разработан стандарт ANSI X9.30, поддерживающий Digital Signature Standard (стандарт Цифровой подписи). Годом позже был введен ANSI X9.31, в котором сделан акцент на цифровых подписях RSA, что отвечает фактически сложившейся ситуации, в частности, для финансовых учреждений.

Проведение анкетирования

Для того, чтобы выяснить знают ли ученики 5-х классов о применение простых чисел в кодирование, об алгоритме RSA, а также выявить количество учеников, использующих ежедневно технологию шифрования RSA, я решил провести опрос. Опрос проводился посредством анкетирования. В опросе приняли участие 21 учащийся из 5-х классов МБОУ «Лицей №9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги.

Респондентам были заданы вопросы, представленные в таблице 2.

Таблица 2

Вопросы для проведения анкетирования

Результаты анкетирования представлены ниже.

Рис. 3. Диаграмма опроса учеников 5 класса,

где ось ординат — это количество опрошенных учеников, ось абсцисс – это вопросы представленные в табл.2.

Как видно из результатов анкетирования, представленных на рис.3, подавляющее большинство учеников 5-х классов являются активными пользователями Internet, практикуют в кругу семьи покупки через сеть Internet, но при этом не имеют представление о шифровании с помощью алгоритма RSA. Все вышесказанное доказывает, что большинство обычных учеников средней школы пользуются кодами с простыми числами каждый день, даже не задумываясь об этом.

Шифрование с помощью алгоритма RSA

С целью повышения осведомленности учеников 5-х классов о применении простых чисел в кодировании, я решил попробовать зашифровать с помощью алгоритма RSA фразу «Приветствую участников конференции» (вычисления сведены в таблицу 3) и познакомить одноклассников с алгоритмом шифрования:

Выбираю два простых числа p и q, p = 7 и q = 13

Вычисляю произведение n = p*q = 7*13 = 91

Вычисляю функцию Эйлера φ(n)= (p-1)*(q-1) = (7-1)*(13-1) = 72

Выбираю произвольное целое e: 0 < e < n взаимно простое с значением функции Эйлера φ(n). Пусть e = 5. Пара чисел (e, n) объявляется открытым ключом шифра.

В моем примере (e, n) = (5, 91).

Вычисляю целое число d из соотношения

(d*e) mod φ(n) = 1

(Операция mod вычисляет остаток от целочисленного деления двух чисел).

Это соотношение означает, что результатом деления произведения чисел e и d на значение функции Эйлера должно быть число 1. Поэтому d можно рассчитать по формуле:

d = (k* φ(n) +1) / e.

Придавая k последовательно значения 1, 2, 3,.. до тех пор, пока не будет получено целое число d.

Подбор k я проводил в табличном процессоре Excel.

Вычисляю число d:

d = (k* 72 +1) / 5,

при k = 1, d – не целое, при k = 2, d = 29. Получаю закрытый ключ шифра (d, n) = (29, 91).

Процедуры шифрования и дешифрования выполняются по следующим формулам:

C = Т^e mod n = Т⁵ mod 91

Т = C^d mod n = C²⁹ mod 91

где Т, C — числовые эквиваленты символов открытого и шифрованного сообщения (см. табл.4).

Таблица 3

Сводная таблица процедуры создания ключей

Таблица 4

Кодирование фразы «Приветствую участников конференции».

Буквы в фразе «Приветствую участников конференции» заменены на числовые эквиваленты из таблицы 3.

Расчеты проводил с помощью электронных таблицExcel и занесены в таблицу 5.

Таблица 5

Вычисление шифрограммы