7 величайших загадок математики: 7 ЗАДАЧ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ — I-NURE

7 ЗАДАЧ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ — I-NURE

Кто из вас хочет стать миллионером? Для этого не нужно покупать лотерейный билет или грабить банк. Математический институт Клэя в США готов с радостью выплатить миллион тем, кто просто решит хотя бы одну из их математических задач. Звучит настолько просто, что вы уже готовы  набросать решение любой из них? А давайте-ка сначала узнаем так ли просты эти задачки…

Как обычно, немного истории…

В начале 20 века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт на одной из конференций представил миру  26 открытых математических проблем, требующих хорошенько пораскинуть мозгами. К концу столетия 20 из них были решены математиками всего мира. Последней, кстати, была теорема Ферма, знакомая многим из курса линейной алгебры и аналитической геометрии.

Новый список задач, представленный американским институтом Клэя в 1998 году, стал в  несколько раз «скромнее» — всего 7 задач – но, как видно, и намного сложнее, ведь за 21 год существования, лишь одна из них была решена…

Так что собой представляют эти 7 задач?

Каждая из них касается какой-либо из областей математики: от теории алгоритмов до топологии и математической физики. И пусть некоторые на первый взгляд могут показаться простыми, но не просто же так за решение любой из них присуждается 1 миллион долларов! Но, пожалуй, начнем описание с той самой единственной решенной задачи. Итак…

1. Гипотеза Пуанкаре

Область изучения – топология.

Эта гипотеза доказана в 2002 году российским математиком Григорием Перльманом. Очень часто можно встретить и другое название этой знаменитой задачи – «проблема бублика». Гипотеза утверждает следующее: всякий трёхмерный объект, обладающий некоторыми свойствами  трёхмерной сферы, обязан быть сферой с точностью до деформации. Сама же история решения этой задачи тысячелетия прямо-таки, как сюжет фильма: гениальный математик из Санкт-Петербурга на несколько лет обрывает все связи с внешним миром, а потом триумфально возвращается с решением одной из 7 задач, навсегда занося своё имя в историю мировой науки! Что ещё более любопытно: от награды в 1 миллион долларов Григорий Перльман отказался.

2. Равенство классов P и NP

Область изучения – теория алгоритмов.

Перед вами два класса: P и NP. P – это множество задач, которые компьютер может решить за полиномиальное время, т.е. довольно быстро. NP – это класс задач, правильность ответа, которых можно быстро проверить.

Для простоты понимания вот вам пример: у вас есть по одной монетке номиналом 2, 3, 5, 6 и 7. Ваша задача – оплатить покупку без сдачи на сумму 21 денежной единицы. Можно ли набрать из этих монет сумму, равную 21? Задача решается методом перебора, и вот плавно мы подходим к вопросу одной из задач тысячелетия: равны ли классы N и NP? Многие ученые уверены в отрицательном ответе, но доказать свою точку зрения так пока никто и не смог. Только вот что будет, если окажется, что P=NP?..

3. Уравнение Навье-Стокса

Область – гидродинамика.

Задача, которая может быть известна некоторым по фильму «Одарённая». В решении данного уравнения заложена одна из сложнейших проблем современной физики – проблема турбулентности.  Турбулентность хоть и является довольно распространённым явлением, но до сих пор остаётся почти неизученной, отчего и совершенно непредсказуемой.

Помимо самого уравнения, задача ставит перед нами и такой вопрос: если известно состояние жидкости в определённый момент  времени и характеристики её движения – существует ли решение, которое  будет верно для всего будущего времени? Так что, помимо проблемы турбулентности, решение этой задачи помогло бы метеорологам делать более точные прогнозы погоды, а нам – всегда вовремя брать с собой зонтик.

4. Гипотеза Римана

Область – теория чисел.

Задача, посвященная нашим любимым простым числам. Если проследить их последовательность в общем строю всех чисел, то можно прийти к тому, что какой-либо закономерности их распределения нет. 

Немецкий математик Бернхард Риман предложил гипотезу, которая утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции распределения простых чисел лежат на прямой линии. Гипотеза Римана уже была проверена для 10 триллионов  решений, но полное доказательство ещё не было подтверждено, но математики утверждают, что уже совсем близко подошли к решению этой задачи тысячелетия.

5. Гипотеза Ходжа

Область – алгебраическая геометрия.

«На любом невырожденном проективном  комплексном  алгебраическом  многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию  классов алгебраических циклов». Так звучит формулировать данной гипотезы. Немного запутанно, да?

Суть в чем: в мире нас окружают простые и сложные объекты. И, вполне логично, что сложные объекты можно описать с помощью определённого количества простых. Основная идея гипотезы состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем приближаться к форме  сложного объекта, склеивая вместе  простые тела  возрастающей размерности.

6. Теория Янга-Миллса

Область – физика элементарных частиц.

Физики Янг Чжэньнин и Роберт Миллс обнаружили связь между  геометрией и физикой элементарных частиц и написали уравнения, объединяющие теории электромагнитного,  слабого и сильного воздействия, что до этого казалось невозможным. По сути, уравнения теории Янга-Миллса пытаются предсказать поведение элементарных частиц и дать общее описание 3 из 4  фундаментальных взаимодействий. Проведённые эксперименты полностью подтверждают выдвинутую теорию, однако полное обоснование до сих пор так и не найдено.

И наконец…

7. Гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера

Область – алгебраическая геометрия. Снова.

Гипотеза связана с описанием  алгебраических уравнений 3 степени – эллиптических кривых – и является единственным простым общим  способом  ранга эллиптических кривых.

Суть задачи такова: множество решений эллиптической кривой связано с поведением L-функции, которая вычисляется, как и дзета-функция гипотезы Римана, и количество рациональных решений бесконечно тогда, когда функция равна 0.

Главный вопрос: возможно ли вообще решить все задачи тысячелетия?

Как говорится: нет ничего невозможного! Терпение, труд и отличная математическая база всё перетрут. Кто знает, дорогие студенты ХНУРЭ, может быть именно вы благодаря своим знаниям разрешите оставшиеся 6 задач тысячелетия? И это касается не только тех, кто обучаться по профилю «Прикладная математика», а студентов всех факультетов ВУЗа. Так что, достаём листочки и начинаем решать – за кем будущее, как не за нами?

По материалам: Wikipedia.org, naked-science.ru, habr.com

Карина Темчур        

Семь великих математических задач

Ученые, которые зашли слишком далеко

Как не стать трудоголиком: 11 интересных советов

28 июня 2010 г.Просмотров: 9529Комментарии: 2
Интересное
ИсторияМатематикаНаукаОбществоТеорииФактыФизика

Семь великих математических задач

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких «кирпичиков» и объектов.

5. Уравнения Навье — Стокса (сформулированы в 1822 году)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика — нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.

7. Уравнения Янга — Миллса (сформулированы в 1954 году)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга — Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга — Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

математических загадок и головоломок | Superprof

Возможно, вы этого не знаете, но математика всегда рядом с нами.

Математика дает нам гораздо больше, чем умножение и деление, дроби, алгебра и геометрия (которые до сих пор преследовали большую часть нашей школьной программы), мы лучше понимаем мир, в котором живем.

Однажды вы поблагодарите онлайн репетитор по математике.

При более пристальном интересе к этой науке начинаешь открывать для себя ряд загадок и вопросов… Бесконечные споры о создании или открытии математики, невозможные или нерешенные уравнения, увлечение определенными числами, необычными формулами, и так далее.

Математические задачи, теории и уравнения, иногда колеблющиеся между религиозными и культурными мифами и научными фактами.

Можно подумать, что математика является предметом точной и неопровержимой логики, позволяющей, конечно, с правильным уравнением решить любую задачу.

И все же…

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Математика: изобретение или открытие человека?

Возникла ли математика из человеческой мысли или из открытия?

Со времен Древней Греции человек использовал математику, числа и алгебру для изучения физического мира и понимания законов природы.

Изучение математики также привело к многочисленным технологическим и научным достижениям, таким как:

• Расшифровка орбит планет,
• Открытие бозона Хиггса,
• Посадка робота Curiosity на Марс,
• И многие другие…

  8 Посадка робота на Марс? С математикой легко! Источник: визуальная охота

  Документальный фильм под названием «Великая математическая тайна» (2015) прослеживает философские споры об универсальности и эффективности этой науки.

  По стопам математических гигантов , Пифагора, Галилея, Ньютона и Эйнштейна, эта статья рассказывает об их захватывающих открытиях и о том, как эти открытия менялись с течением времени.

  Теоремы и математические уравнения Пифагора, закон всемирного тяготения Ньютона, таинственное число Пи… Так много открытий, сделанных на протяжении всей истории, которые до сих пор используются в качестве ориентиров. Научные теории, которые считаются « ключ ко Вселенной «.

  Увлекательный документальный фильм, который еще раз доказывает, что математика по-прежнему остается загадкой, которая не удивит и не разоблачит!

  7 математических задач тысячелетия

  Знаете ли вы, что до сих пор остаются 7 математических задач, которые никогда не были решены!

  Их называют 7 математическими проблемами тысячелетия

  В 1900 году математик Д.Гильберт составил список из 23 нерешенных математических задач, которым руководствовались математики в своих исследованиях

  100 лет спустя, в 2000 году, большинство специалистов по математике нашли решение этих задач. Тем не менее, все еще остаются 7, которые некоторые называют наиболее трудными математическими задачами. Думаешь, ты умеешь решать проблемы?
  

  Для поддержки исследований в области науки, особенно в области математики, богатый американец Л. Клэй в 1999 году решил основать CMI ( Математический институт Клэя ) и бросить вызов математикам всего мира.

  Если математику удастся решить одну из этих задач, он может выиграть 1 миллион фунтов стерлингов! Да, Л.Клэй очень богат!

  Выучить математику за миллион? Заманчиво, не правда ли?

  Миллион фунтов, чтобы решить уравнение? У кого-нибудь есть калькулятор? | Источник: visualhunt.0005

• Уравнения Navier-Stoke
• Уравнения Yang-Mills
• P против NP
• Номера Ramsey
• Lychrel Numbers и Palindrom. Вы наверняка будете усерднее работать над домашним заданием по математике и лучше сдадите тесты по математике! Помимо всего, что можно узнать в школе и даже в университете, перед тем, как отправиться в это приключение, требуются чрезвычайно продвинутые знания.

  Очень немногие математики в мире имеют возможность работать над этими уравнениями и предположениями.

  Но, как сказал Альберт Эйнштейн:

  «Мы не можем решить наши проблемы с тем же мышлением, которое мы использовали, когда создавали их».

  Числа, которые очаровывают мир

  Математика — это история чисел. Среди них некоторые являются предметом серьезного увлечения. Загадочные числа, которые мы пытаемся постичь.

  Ищете репетитора по математике, не ищите дальше. Вы получите всю необходимую помощь по математике.

  Пи: число со множеством секретов

  Пи, безусловно, самая известная математическая константа. Если вы изо всех сил пытаетесь запомнить свои основные уроки математики, Пи — это значение отношения между длиной окружности круга и его диаметром.

  Число Пи, обычно выражаемое приблизительным значением 3,14, очаровывало и интриговало математиков с древних времен по нескольким причинам:

  1. Это иррациональное число : Пи не может быть записано в виде дроби, и его десятичные разряды бесконечны . ..
  2. Загадочная десятичная последовательность : в настоящее время наиболее приблизительное десятичное значение числа Пи имеет 1,241 миллиард цифр . Он был рассчитан сверхмощным вычислительным программным обеспечением.
     Фактически, запоминание наибольшего числа десятичных знаков числа Пи является одним из рекордов, занесенных в Книгу рекордов Гиннеса. В настоящее время его держит китайский студент, которому удалось произнести наизусть 67,89 слов.0 знаков после запятой отлично.
     Он должен быть настоящим профессионалом в ментальной арифметике!
  3. Приблизительная, но точная цифра : поскольку невозможно определить точное значение числа Пи, его значение остается приблизительным, но, как это ни парадоксально, позволяет производить чрезвычайно точные расчеты.
  4. Число Пи использовалось для строительства пирамид : одна из величайших загадок этого числа может заключаться в том, что было доказано, что число Пи равно отношению между периметром основания пирамиды и удвоенной высотой. Если взять, к примеру, пирамиду Хеопса, то она имеет соотношение 22/14, что соответствует приближению числа Пи (а это 22/7) с учетом удвоенной высоты.

  Проверьте здесь репетитора по математике рядом со мной.

  Сколько чисел Пи вы можете запомнить? | Источник: visualhunt

  Фи: золото в сердце Вселенной

  Фи, также известное как золотое число, не следует путать с числом Пи.

  Золотое сечение имеет более мифическое значение. По мнению математиков, он может присутствовать во всех вещах в нашей Вселенной. Фи может быть фактором пропорций всего вокруг нас: пространств, растений и даже людей.

  Вся Вселенная будет подчиняться Закону Фи.

  Тесно связанный со знаменитой последовательностью Фибоначчи, закон Фи позволяет, например, рисовать фигуры, называемые «золотыми», с идеальными пропорциями . Некоторые даже называют это число «божественной пропорцией».

  Самый загадочный пример – работы Леонардо да Винчи и знаменитого «Витрувианского человека». Де Винчи был первым, кто заявил, что человеческое тело состоит из нескольких частей, общим знаменателем которых является закон Фи.

  Если вы измерите расстояние между землей и макушкой и разделите его на расстояние между землей и пупком, вы получите… подождите… Значение фи , около 1,618.

  Тревожно, не так ли?

  Это «божественное» значение можно найти во многих областях, таких как:

  • Искусство,
  • Архитектура,
  • Музыка.

  Число 7: между верой и реальностью

  Почему число 7 присутствует не только в нашей прошлой, но и в современной культуре?

  • 7 чудес света,
  • 7 цветов радуги,
  • 7 дней недели,

  Сапоги семи лиг и т. д.

  В течение нескольких тысяч лет число 7 считалось счастливым .

  Фигура, с которой мы часто сталкиваемся в нашей культуре и даже в религии (цифра 7 широко представлена ​​в Новом и Ветхом Заветах).

  А как насчет математики?

  Таинственным образом число 7 также играет важную роль в основах математики и геометрии:

  • 7 остроугольных треугольников делятся на тупоугольный треугольник,
  • 7-й вездесущ в триплетах Пифагора,
  • 7 типов «катастроф » модели в математике,
  • 7 — магическое число,
  • 7 — простое число и так далее.

  По сей день ни один ученый не придумал реального объяснения сильному присутствию числа 7 в математике . Тайна, символ, миф… Каждый волен интерпретировать по-своему.

  Знаете ли вы величайшие математические тайны?

  Таинственное уравнение Дрейка

  Уравнение Дрейка, названное в честь его создателя, Фрэнка Дрейка, представляет собой серьезную математическую теорию для определения количества «возможных» внеземных цивилизаций в нашей галактике.

  Можно подумать, что это уравнение — научная фантастика, но вовсе нет!

  Тесно связана с такими науками как:

  • Экзобиология,
  • Футуробиология,
  • Астросоциология,
  • И всем известный проект SETI ( Поиск внеземного разума ).

  Опубликовано в 1961 году Формула Дрейка до сих пор разделяет ученых и математиков , потому что оценка факторов, из которых она состоит, очень неопределенна … В настоящее время у нас нет всех знаний, необходимых для понимания уравнения.

  Найдите онлайн-курсы по математике здесь, на сайте Superprof.

  Математическое уравнение Дрейка. | Источник: visualhunt

  Произведение 7 факторов (снова 7…) . Ответ N представляет собой количество внеземных цивилизаций, которые нас окружают.

  По этой причине ученые должны учитывать следующие факторы (по порядку):

  • Количество звезд, ежегодно образующихся в нашей галактике,
  • Доля этих звезд, имеющих планеты,
  • Среднее количество планет с потенциалом для жизни на звезду,
  • Доля этих планет, на которых появляется жизнь,
  • Доля этих планет, на которых есть разумная жизнь,
  • Доля этих планет, способных к общению,
  • Средняя продолжительность жизни этих цивилизаций в годах.

  В 1961 году Дрейку и его команде удалось вычислить значение N, равное 10. Это означает, что в Млечном Пути существует 10 внеземных цивилизаций, способных общаться с нами.

  Математика, геометрия, алгоритмы, вероятности и тригонометрия могут стать чем-то большим, чем просто предметом академического интереса.

  С древних времен математика хранила неисчислимое количество тайн и загадок.

  Удастся ли ученым взломать все секретные математические коды? Является ли математика творением человека? Действительно ли число 7 счастливое?

  Предмет, который никогда не перестанет нас удивлять!

  Интерес к тайнам математики может пробудить любопытство ученика.

  С раннего возраста дети имеют доступ ко многим образовательным ресурсам для изучения математики, развлекаясь (математические игры, логические игры, магические вычисления и т. д.), своего рода введение в математику.

  В школьной программе по математике Совет по образованию предлагает сопровождать учащихся от начального до высшего образования по различным предметам науки и техники.

  А почему бы не сделать математику профессией, даже призванием? После A-level у вас есть возможность расширить свои математические знания, например, получив степень в области инженерных наук или математики.

  Но перед этим вам предстоит пройти самую сложную часть, поработать над домашним заданием по математике :

  • Выучите наизусть таблицы умножения и теоремы…
  • Повторите алгебру, геометрию, арифметику, тригонометрию
  • Научитесь решать уравнения с вероятностями и уравнениями
  • Станьте профессионалом в ментальной арифметике
  • эти уроки математики с широкой улыбкой!

  Чтобы закончить на еще более смешной ноте, знаете ли вы, что 2 ученых использовали математику, чтобы вычислить главного героя в GOT? Скажи это своему учителю математики!

  Самые сложные математические задачи и уравнения

  Getty/Creative Commons

  1

  Гипотеза Коллатца

  Дэйв Линклеттер

  В сентябре 2019 года появились новости о прогрессе в решении этого 82-летнего вопроса благодаря плодовитому математику Теренсу Тао. И хотя история прорыва Тао многообещающая, проблема еще не решена полностью.

  Повторение гипотезы Коллатца: все дело в показанной выше функции f(n), которая берет четные числа и делит их пополам, а нечетные утраиваются, а затем прибавляются к 1. Возьмите любое натуральное число, примените f , затем снова и снова применяйте f. В конечном итоге вы получаете 1 для каждого числа, которое мы когда-либо проверяли. Гипотеза состоит в том, что это верно для всех натуральных чисел (целых положительных чисел от 1 до бесконечности).

  Недавняя работа Тао является почти решением гипотезы Коллатца в некоторых тонкостях. Но он, скорее всего, не может адаптировать свои методы для полного решения проблемы, как впоследствии объяснил Тао. Так что, возможно, мы будем работать над этим еще несколько десятков лет.

  Гипотеза живет в математической дисциплине, известной как Динамические системы, или в изучении ситуаций, которые меняются со временем полупредсказуемым образом. Вроде бы простой, безобидный вопрос, но именно это делает его особенным. Почему на такой элементарный вопрос так трудно ответить? Он служит ориентиром для нашего понимания; как только мы ее решим, мы сможем перейти к гораздо более сложным вопросам.

  Изучение динамических систем может стать более надежным, чем кто-либо может себе представить сегодня. Но нам нужно решить гипотезу Коллатца, чтобы предмет процветал.

  2

  Гипотеза Гольдбаха

  Creative Commons

  Одну из величайших неразгаданных тайн математики также очень легко написать. Гипотеза Гольдбаха гласит: «Каждое четное число (больше двух) есть сумма двух простых чисел». Вы проверяете это в уме на маленькие числа: 18 — это 13+5, а 42 — это 23+19.. Компьютеры проверили гипотезу на наличие чисел до некоторой величины. Но нам нужно доказательство для всех натуральных чисел.

  Гипотеза Гольдбаха возникла из писем в 1742 году между немецким математиком Кристианом Гольдбахом и легендарным швейцарским математиком Леонардом Эйлером, считающимся одним из величайших в истории математики. Как выразился Эйлер, «я рассматриваю [это] как вполне достоверную теорему, хотя и не могу ее доказать».

  Эйлер, возможно, почувствовал, что делает эту проблему нелогичной для решения. Когда вы смотрите на большие числа, у них больше способов записать в виде суммы простых чисел, а не меньше. Например, 3+5 — единственный способ разбить 8 на два простых числа, а 42 можно разбить на 5+37, 11+31, 13+29.и 19+23. Таким образом, кажется, что гипотеза Гольдбаха — преуменьшение для очень больших чисел.

  Тем не менее, доказательство гипотезы для всех чисел до сих пор ускользает от математиков. Это один из старейших открытых вопросов во всей математике.

  3

  Гипотеза о простых числах-близнецах

  Вольфрам Альфа

  Наряду с гипотезой Гольдбаха гипотеза о простых числах-близнецах является самой известной в теории чисел — или изучении натуральных чисел и их свойств, часто с участием простых чисел. Поскольку вы знаете эти числа с начальной школы, формулировать предположения несложно.

  Когда два простых числа имеют разность 2, они называются простыми числами-близнецами. Таким образом, 11 и 13 являются простыми числами-близнецами, как и 599 и 601. Итак, это факт Теории чисел дня 1, что существует бесконечно много простых чисел. Итак, бесконечно ли много простых чисел-близнецов ? Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что да.

  Давайте углубимся. Первое в паре простых чисел-близнецов, за одним исключением, всегда на 1 меньше, чем кратное 6. Таким образом, второе простое число всегда на 1 больше, чем кратное 6. Вы можете понять почему, если будете готовы следуйте немного опрометчивой теории чисел.

  Все простые числа после 2 нечетные. Четные числа всегда на 0, 2 или 4 больше, чем кратные 6, в то время как нечетные числа всегда на 1, 3 или 5 больше, чем кратные 6. Ну, одна из этих трех возможностей для нечетных чисел вызывает проблему. Если число на 3 больше, чем кратное 6, то оно имеет множитель 3. Наличие множителя 3 означает, что число не является простым (за исключением самого числа 3). И именно поэтому каждое третье нечетное число не может быть простым.

  Как твоя голова после этого абзаца? А теперь представьте головную боль всех, кто пытался решить эту проблему за последние 170 лет.

  Хорошая новость заключается в том, что за последнее десятилетие мы добились многообещающего прогресса. Математикам удавалось решать все более и более близкие версии гипотезы о простых числах-близнецах. Это была их идея: как доказать, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 2? Как насчет того, чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 70 000 000? Это было ловко доказано в 2013 году Итан Чжаном из Университета Нью-Гэмпшира.

  В течение последних шести лет математики улучшали это число в доказательстве Чжана, уменьшая его с миллионов до сотен. Уменьшение его до 2 будет решением гипотезы о простых числах-близнецах. Самое близкое, к чему мы подошли — с учетом некоторых тонких технических допущений — это 6. Время покажет, будет ли последний шаг от 6 к 2 прямо за углом, или эта последняя часть будет бросать вызов математикам еще десятилетиями.

  4

  Гипотеза Римана

  Дэйв Линклеттер

  Современные математики, вероятно, согласятся с тем, что гипотеза Римана — самая важная открытая проблема во всей математике. Это одна из семи задач премии тысячелетия, за решение которой назначено вознаграждение в 1 миллион долларов. Он имеет глубокие последствия для различных областей математики, но он также достаточно прост, чтобы мы могли объяснить основную идею прямо здесь.

  Существует функция, называемая дзета-функцией Римана, написанная на изображении выше.

  Для каждого s эта функция дает бесконечную сумму, которая требует некоторого базового исчисления даже для самых простых значений s. Например, если s=2, то 𝜁(s) — это хорошо известный ряд 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, который странным образом в сумме дает ровно 𝜋²/6. Когда s — комплексное число, которое выглядит как a+b𝑖, используя мнимое число 𝑖, найти 𝜁(s) становится сложно.

  Настолько сложный, что стал главным математическим вопросом. В частности, гипотеза Римана имеет место, когда 𝜁(s)=0; официальное заявление гласит: «Каждый нетривиальный нуль дзета-функции Римана имеет действительную часть 1/2». На плоскости комплексных чисел это означает, что функция имеет определенное поведение вдоль специальной вертикальной линии. Гипотеза состоит в том, что поведение продолжается вдоль этой линии бесконечно.

  Гипотеза и дзета-функция принадлежат немецкому математику Бернхарду Риману, который описал их в 1859 году. Риман разработал их, изучая простые числа и их распределение. Спустя 160 лет наше понимание простых чисел расцвело, и Риман никогда бы не подумал о мощи суперкомпьютеров. Но отсутствие решения гипотезы Римана является серьезной неудачей.

  Если бы гипотеза Римана была решена завтра, это открыло бы лавину дальнейшего прогресса. Это было бы огромной новостью по всем предметам теории чисел и анализа. До тех пор гипотеза Римана остается одной из крупнейших плотин на реке математических исследований.

  5

  Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

  Creative Commons

  Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера — еще одна из шести нерешенных проблем тысячелетия, и это единственная другая, которую мы можем хотя бы отдаленно описать простым языком. Эта гипотеза затрагивает математическую тему, известную как эллиптические кривые.

  Когда мы недавно писали о самых сложных математических задачах, которые были решены, мы упомянули одно из величайших достижений математики 20-го века: решение Великой теоремы Ферма. Сэр Эндрю Уайлс решил ее с помощью эллиптических кривых. Итак, вы можете назвать это очень мощной новой отраслью математики.

  Короче говоря, эллиптическая кривая — это особый вид функции. Они принимают безобидную форму y²=x³+ax+b. Оказывается, у таких функций есть определенные свойства, которые позволяют лучше понять такие математические темы, как алгебра и теория чисел.

  Британские математики Брайан Берч и Питер Суиннертон-Дайер разработали свою гипотезу в 1960-х годах. Его точное утверждение является очень техническим и развивалось с годами. Одним из главных распорядителей этой эволюции был не кто иной, как Уайлс. Чтобы увидеть его текущий статус и сложность, ознакомьтесь с этим знаменитым обновлением, сделанным Уэллсом в 2006 году.0007

  6

  Проблема числа поцелуев

  JJ Harrison/Creative Commons

  Широкая категория задач по математике называется задачами упаковки сфер. Они варьируются от чистой математики до практических приложений, обычно применяя математическую терминологию к идее размещения множества сфер в заданном пространстве, как фрукты в продуктовом магазине. Некоторые вопросы в этом исследовании имеют полные решения, в то время как некоторые простые ставят нас в тупик, например, проблема числа поцелуев.

  Когда в каком-то регионе находится множество сфер, каждая сфера имеет число поцелуев, то есть количество других сфер, с которыми она соприкасается; если вы касаетесь 6 соседних сфер, то ваше число поцелуев равно 6. Ничего сложного. У упакованной связки сфер будет среднее число поцелуев, которое помогает математически описать ситуацию. Но основной вопрос о количестве поцелуев остается без ответа.

  Во-первых, примечание о размерах. Измерения имеют особое значение в математике: они являются независимыми координатными осями. Ось X и ось Y показывают два измерения координатной плоскости. Когда персонаж в научно-фантастическом сериале говорит, что отправляется в другое измерение, это не имеет математического смысла. Вы не можете перейти к оси X.

  Одномерная вещь — это линия, а двумерная — плоскость. Для этих малых чисел математики доказали максимально возможное число поцелуев для сфер с таким количеством измерений. Это 2, когда вы находитесь на одномерной линии — одна сфера слева от вас, а другая справа от вас. Есть доказательство точного числа для 3-х измерений, хотя это длилось до 1950-х годов.

  За пределами трех измерений проблема поцелуев в основном не решена. Математики постепенно сократили возможности до довольно узких диапазонов до 24 измерений, причем некоторые из них точно известны, как вы можете видеть на этой диаграмме. Для больших чисел или общей формы проблема широко открыта. Есть несколько препятствий на пути к полному решению, включая вычислительные ограничения. Так что ожидайте постепенного прогресса в решении этой проблемы в ближайшие годы.

  7

  Проблема развязывания

  Creative Commons

  Простейшая версия задачи о распутывании решена, так что в этой истории уже есть некоторый успех. Решение полной версии задачи будет еще большим триумфом.

  Возможно, вы не слышали о математическом предмете «Теория узлов». Его преподают практически не в средних школах, а в нескольких колледжах. Идея состоит в том, чтобы попытаться применить формальные математические идеи, такие как доказательства, к узлам, например… к тому, чем вы завязываете свои ботинки.

  Например, вы можете знать, как завязать «квадратный узел» и «бабушкин узел». У них те же шаги, за исключением того, что один поворот меняется от квадратного узла к бабушкиному узлу. Но можете ли вы доказать, что эти узлы разные? Ну, теоретики узлов могут.

  Святым Граалем теоретиков узлов был алгоритм для определения того, действительно ли запутанный беспорядок завязан узлом или его можно распутать до нуля. Крутая новость заключается в том, что это было достигнуто! За последние 20 лет для этого было написано несколько компьютерных алгоритмов, и некоторые из них даже анимируют процесс.

  Но задача распутывания остается вычислительной. С технической точки зрения известно, что проблема развязывания находится в NP, в то время как мы не знаем, находится ли она в P. Это примерно означает, что мы знаем, что наши алгоритмы способны развязывать узлы любой сложности, но чем больше они становятся сложный, он начинает занимать невероятно много времени. Пока что.

  Если кто-то придумает алгоритм, способный развязать любой узел за так называемое полиномиальное время, это полностью положит конец проблеме развязывания узлов. С другой стороны, кто-то может доказать, что это невозможно, и что вычислительная интенсивность задачи «Распутывание узлов» неизбежно велика. В конце концов, мы узнаем.

  8

  Большой кардинальный проект

  Creative Commons

  Если вы никогда не слышали о больших кардиналах, будьте готовы узнать. В конце 19 века немецкий математик Георг Кантор выяснил, что бесконечность бывает разных размеров. Некоторые бесконечные множества действительно содержат больше элементов, чем другие, и это доказано Кантором.

  Существует первый бесконечный размер, наименьшая бесконечность, которая обозначается ℵ₀. Это еврейская буква алеф; это читается как «алеф-ноль». Это размер множества натуральных чисел, поэтому записывается |ℕ|=ℵ₀.

  Далее, некоторые общие наборы больше, чем размер ℵ₀. Главный пример, который доказал Кантор, заключается в том, что множество действительных чисел больше, пишется |ℝ|>ℵ₀. Но реалы не такие большие; мы только начинаем работать с бесконечными размерами.

  Для действительно больших вещей математики продолжают открывать все большие и большие размеры, или то, что мы называем большими кардиналами. Это процесс чистой математики, который выглядит следующим образом: кто-то говорит: «Я придумал определение кардинала и могу доказать, что этот кардинал больше, чем все известные кардиналы». Затем, если их доказательство верно, это новый крупнейший из известных кардиналов. Пока кто-то другой не придумает большего.

  На протяжении 20-го века границы известных крупных кардиналов неуклонно расширялись. Сейчас есть даже красивая вики известных крупных кардиналов, названных в честь Кантора. Итак, это когда-нибудь закончится? Ответ в целом да, хотя это становится очень сложным.

  В каком-то смысле вершина большой кардинальной иерархии уже видна. Были доказаны некоторые теоремы, которые налагают своего рода потолок на возможности больших кардиналов. Но остается много открытых вопросов, и совсем недавно, в 2019 году, были назначены новые кардиналы.. Вполне возможно, что в ближайшие десятилетия мы откроем еще больше. Надеюсь, в конечном итоге у нас будет полный список всех крупных кардиналов.

  9

  Что не так с 𝜋+e?

  Эндрю Дэниелс

  Учитывая все, что мы знаем о двух самых известных математических константах, 𝜋 и e, немного удивительно, как мы теряемся, когда их складываем вместе.

  Эта загадка связана с алгебраическими действительными числами. Определение: действительное число является алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами. Например, x²-6 — многочлен с целыми коэффициентами, поскольку 1 и -6 — целые числа. Корни x²-6=0 равны x=√6 и x=-√6, так что это означает, что √6 и -√6 являются алгебраическими числами.

  Все рациональные числа и корни рациональных чисел являются алгебраическими. Так что может показаться, что «большинство» действительных чисел являются алгебраическими. Оказывается, на самом деле все наоборот. Антоним к слову «алгебраический» — трансцендентный, и оказывается, что почти все действительных чисел трансцендентны — для некоторых математических значений слова «почти все». Итак, кто алгебраичен, а кто трансцендентен?

  Действительное число 𝜋 восходит к древней математике, а число e известно с 17 века. Вы, наверное, слышали об обоих, и вы думаете, что мы знаем ответы на все основные вопросы, которые можно задать о них, верно?

  Ну, мы знаем, что и 𝜋, и e трансцендентны. Но почему-то неизвестно, является ли 𝜋+e алгебраическим или трансцендентным. Точно так же мы ничего не знаем о 𝜋e, 𝜋/e и других их простых комбинациях. Таким образом, есть невероятно простые вопросы о числах, которые мы знали на протяжении тысячелетий, но которые до сих пор остаются загадкой.

  10

  Является ли 𝛾 Рациональным?

  Дэйв Линклеттер

  Вот еще одна задача, которую очень легко написать, но трудно решить. Все, что вам нужно вспомнить, это определение рациональных чисел.

  Рациональные числа можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа. Итак, 42 и -11/3 рациональны, а 𝜋 и √2 нет. Это очень простое свойство, поэтому вы думаете, что мы можем легко сказать, рациональное число или нет, верно?

  Познакомьтесь с постоянной Эйлера-Маскерони 𝛾, которая является строчной греческой гаммой. Это реальное число, примерно 0,5772, в закрытой форме, что не так уж и уродливо; это похоже на изображение выше.

  Изящный способ выразить словами эти символы: «гамма — это предел разности гармонического ряда и натурального логарифма». Итак, это комбинация двух очень хорошо понятных математических объектов. У него есть и другие аккуратные закрытые формы, и он встречается в сотнях формул.