В конце концов благодаря усилиям Харди Рамануджан получил возможность учиться в Кембридже частично за счет средств Мадраса и частично за счет средств Тринити-колледжа. Английский математик, который стал его учителем, столкнулся со сложной задачей. Какой метод избрать, чтобы обучить Рамануджана современной математике? «Глубина его знаний так же велика, как и пробелы в них», — восклицал Харди. Трудности заключались еще и в огромном количестве тем, которыми занимался Рамануджан, смешивая новые результаты с уже известными. Рамануджана надо было в значительной степени переучивать, но Харди старался не повредить слишком большим количеством формализма то, что он называл «чарами вдохновения». * * * НОМЕРА ТАКСИ После исторической встречи Рамануджана и Харди в санатории Патни наименьшие числа, которые могут быть выражены в виде суммы двух кубов n различными способами, получили название «номеров такси». Та(1) = 2; Та(2) = 1729; Та(3) = 87539319; Та(4) = 6963472309248; Та(5) = 48988659276962496. Шестой «номер такси», Та (6), пока не найден. * * * Рамануджан (в центре) и Харди (крайний справа) на групповой фотографии у Тринити-колледжа в Кембридже. Рамануджан провел в Кембридже пять лет, опубликовав за это время 21 статью. Пять из них были написаны совместно с Харди, который в конце концов заявил: «Я научился у него большему, чем он узнал от меня». Весной 1917 г. у Рамануджана появились первые симптомы туберкулеза, который в конечном итоге стал причиной его смерти. Летом того же года он лечился в санатории. Большую часть оставшейся жизни он провел в постели. Осенью 1918 г. Большинство результатов Рамануджана содержится в письмах, некоторые работы также собраны в трех личных записных книжках, одна из которых была потеряна и нашлась лишь в 1976 г. Еще никто не изучил его труды в полном объеме. Несмотря на то, что он умер в возрасте всего лишь 33 лет, Рамануджан оставил после себя более 4000 теорем. Работа Рамануджана над простыми числами, в частности, поиск точной формулы для их описания, окутана тайной, хотя в определенной мере можно считать, что она закончилась неудачей. Харди писал по этому поводу: «Хотя Рамануджан добился блестящих успехов во многих областях, в работе над проблемами теории простых чисел он определенно потерпел неудачу. Можно сказать, что это было его единственной большой неудачей. Рамануджан не знал о работах Римана и Гаусса, но сам пытался найти формулу, которая даст ему список всех простых чисел. Этот список нужен был ему для того, чтобы посчитать, сколько существует простых чисел, меньших любого заданного числа. Результаты, которые он посылал Харди, не содержат доказательств его утверждений. Но одна формула почти выдает амбиции Рамануджана: Абсурдность этого выражения, казалось бы, показывает, что ее автор всего лишь шарлатан, который даже не знает о сходящихся рядах. Но проницательный Харди увидел здесь смысл благодаря другим математическим результатам своего ученика. Ошибка в интерпретации произошла из-за путаницы в системе обозначений. Выяснилось, что Рамануджан записал здесь не что иное, как один из нулей дзета-функции Римана, в частности, решение для х = — 1. Этот метод, по словам Рамануджана, позволил ему получить формулу для вычисления количества простых чисел от одного до ста миллионов с удивительно небольшой погрешностью. * * * УПОРЯДОЧЕННАЯ ЖИЗНЬ Образ жизни Рамануджана, истинного брахмана, представителя духовной касты индуистского общества, был основан на самоконтроле, умеренности и исключении из рациона питания всех животных продуктов, а также многих продуктов растительного происхождения, таких как чеснок и лук. Любопытно отметить, что на протяжении всей жизни Рамануджан записывал большинство своих математических результатов, многие из которых он не мог точно доказать, сразу после пробуждения по утрам. * * * Американский математик Брюс Берндт из Иллинойсского университета, посвятивший много времени изучению работ Рамануджана, обнаружил, что тот сначала составил таблицу, отличную от посланной Харди. В оригинальной таблице простые числа для первых ста миллионов натуральных чисел описаны более подробно. Берндт говорит, что эти результаты более точны, чем при вычислениях по формуле Римана. Это позволяло предположить, что, возможно, Рамануджан действительно открыл формулу, которую почему-то держал в секрете. Возможно, личные записные книжки Рамануджана содержат еще более удивительные результаты, которые еще предстоит открыть. Это правда, что гениальный ум Рамануджана породил математические результаты, которые иногда оказывались неверными. Но по большей части они правильные и обладают исключительной математической красотой. Во всяком случае, его работами в настоящее время занимаются тысячи математиков по всему миру, и его результаты применяются даже в областях, далеких от чистой математики, например, в химии полимеров, компьютерном дизайне и исследованиях рака. Страница одной из записных книжек Рамануджана. Глава 7 Для чего нужны простые числа Поиск простых чисел — по крайней мере больших простых чисел — довольно сложная задача, потому что еще никому не удалось найти формулу или алгоритм, позволяющий генерировать любые простые числа. На этот вопрос можно дать два ответа. Первый из них имеет теоретическое значение. Попытки генерации простых чисел ведут к появлению новых интересных инструментов для расчетов, особенно для компьютерных вычислений. Кроме того, наличие большого списка простых чисел позволяет проверять теоремы, которые еще не доказаны. Если кто-то выдвигает гипотезу относительно простых чисел, но оказывается, что одно из миллионов чисел нарушает ее, то вопрос снимается. Это стимулирует поиск простых чисел различных видов: простых чисел Мерсенна, чисел-близнецов и так далее. Иногда такой поиск превращается в соревнование, в котором устанавливаются мировые рекорды и за победы присуждаются большие призы. Но есть и другая, более практическая причина, связанная с так называемым шифрованием. Электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь — все это защищено секретными кодами, непосредственно основанными на свойствах простых чисел. Простые числа в криптографии В 1975 г. Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману, в то время работавшим в Стэнфордском университете, пришла в голову идея асимметричного шифрования, или «шифрования с открытым ключом». Эта система основана на специальных математических функциях, называемых «односторонними функциями с потайным входом», которые позволяют зашифровывать текст, но делают расшифровку практически невозможной без знания используемого кода. Идея состоит в том, что каждый пользователь имеет пару ключей: открытый и закрытый. Если мы хотим отправить кому-то сообщение, мы зашифровываем это сообщение с помощью открытого ключа — то есть ключа, известного всем. Но только человек, имеющий соответствующий закрытый ключ, может расшифровать это сообщение. Одним из преимуществ такого метода является то, что закрытый ключ никогда не передается и поэтому его не нужно постоянно менять в целях безопасности. Идея метода не совсем проста, но мы можем пояснить ее с помощью аналогии. Представьте себе большой магазин, где продаются сотни тысяч банок с краской разного цвета. |
Они определяются следующим образом: «n-й номер такси есть наименьшее натуральное число, которое может быть выражено n различными способами в виде суммы двух положительных кубов». В настоящее время известны следующие «номера такси»:
, когда здоровье немного улучшилось, он получил долгожданную стипендию Тринити-колледжа и возобновил научную работу. Это время оказалось одним из самых продуктивных периодов его научной биографии. В начале 1919 г. он вернулся в Индию, где на следующий год умер.
Однако мне кажется, эта неудача в некотором смысле была не менее прекрасна, чем любая из его побед…»
Однако впоследствии Литлвуд показал, что Рамануджан ошибся. Тем не менее, поиски магической формулы привели его, как и многих других математиков, в чрезвычайно важную область, имеющую прямое отношение к сходящимся рядам.
Но может возникнуть логичный вопрос: «Для чего нужно генерировать простые числа?»
Возьмем две любые банки и смешаем краску в разных количествах. Пока все просто. Теперь, если мы покажем кому-нибудь получившийся цвет и попросим «расшифровать», какое количество каких красок использовалось изначально, на такой вопрос будет очень трудно ответить.«Увлекательная математика» » МБДОУ детский сад № 20
Конспект непосредственно образовательной деятельности в подготовительной группе по ФЭМП
«Увлекательная математика»
Подготовила и провела
воспитатель МБДОУ д/с № 20
Короткова Г.И.
Задачи:
1. Закреплять умение раскладывать число на два меньших числа и составлять из двух меньших большее число в пределах 10.
2. Развивать умение называть предыдущее, последующее и пропущенное число к названному.
3. Закреплять представления о последовательности дней недели.
4. Совершенствовать умение ориентироваться на листе бумаги в клетку.
5. Развивать умение видоизменять геометрические фигуры.
Демонстрационный материал: мяч, карточки с цифрами разного цвета (два набора).
Материалы к занятию: карточки с цифрами, тетради в клетку с образцом узора, листы бумаги в клетку, на которых изображены квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, цветные и простые карандаши.
Ход занятия
Воспитатель предлагает игровое упражнение «Игра с мячом».
Дети вместе с воспитателем встают в круг. Воспитатель уточняет, какое число называется предыдущим (последующим). Затем по очереди бросает детям мяч и дает задания.
— Назовите предыдущее число к названному (8, 5, 10, 3).
— Назовите последующее число к названному (9, 2, 7, 6).
— Назовите пропущенное число к названным (2…4, 3…5, 8…10, 6…8).
После выполнения каждого задания дети возвращают мяч воспитателю.
Воспитатель предлагает детям следующее игровое упражнение слуховой диктант «Крабик».
Воспитатель просит детей отсчитать три клетки слева и одну сверху поставит точку, от которой они будут выполнять задание.
Дети выполняют задание.
Воспитатель. Ребята, вы наверное немного устали, давайте поиграем в игру «Найди пару».
-Возьмите со стола по одной карточке с цифрой и назовите свое число, которое показывает цифра. Дети под музыку выполняют различные движения, по окончании музыки они составляют пару для названного воспитателем числа и объясняют свой вариант состава числа.
Игровое упражнение «Измени фигуру».
У детей листы бумаги в клетку с нарисованными фигурами. Воспитатель просит детей назвать изображенные геометрические фигуры, а затем разделить их так, чтобы получились другие геометрические фигуры, и закрасить одну из них. В конце задания дети рассказывают, какие геометрические фигуры и сколько их.
Подвижная игра «Живая неделя».
У детей карточки с цифрами. Воспитатель уточняет, какая цифра какой день недели обозначает. Затем дети делятся на две команды. Воспитатель читает стихотворение, и по мере называния дней недели каждая команда строит свою неделю.
Жаль, всего семь дней в неделе –
Дел навалом у Емели:
В понедельник на печи
Протирает кирпичи.
Не скучает и во вторник –
Он плетет слону намордник.
Языком молотит в среду
И баклуши бьет соседу.
После дождичка в четверг
Он пускает фейерверк.
Пятница – тяжелый день:
Тень наводит на плетень.
И суббота не суббота:
У него на мух охота.
Но седьмой настанет день –
Сдвинет шапку набекрень…
Потому что воскресенье –
Это праздник и веселье:
И, улегшись на печи,
Ест Емеля калачи!
В общем, трудно жить Емеле…
Было б восемь дней в неделе –
Вот тогда бы он успел
Сделать много важных дел!
Дети перечисляют дни недели.
Воспитатель предлагает детям выстроиться в ряд, составив неделю от названного дня (среда, пятница, воскресенье).
Подведение итогов (вопросы воспитателя)
— О чем мы сегодня говорили?
— Что нового вы узнали?
— Что для вас было сложным?
— Что было интересным?
(ответы детей)
Молодцы, ребята, вы очень хорошо сегодня занимались. Мне с вами было интересно.
комбинаторика — Анализ сложности простых чисел
Каждое простое число больше $9$, записанное с основанием $10$, оканчивается одной из четырех цифр $1,3,7,9$. Следовательно, каждую десятку можно классифицировать в соответствии с тем, какая из этих четырех цифр в сумме дает десятку и дает простое число.
Например, для первых десяти у нас есть $1 \rightarrow \{1,3,7,9\}$. На самом деле $10+1$, $10+3$, $10+7$ и $10+9$ — все простые числа. И наоборот, для двадцатого десятка ассоциация читается как $20 \rightarrow \{\}$, поскольку между $200$ и $209 нет простых чисел.$.
Легко видеть, что каждая десятка соответствует одной (и только одной) группе символов, выбранной из следующих $16$ различных альтернатив: $\{\}$, $\{1\}$, $\{ 3\}$, $\{7\}$, $\{9\}$, $\{1,3\}$, $\{1,7\}$, $\{1,9\}$ , $\{3,7\}$, $\{3,9\}$, $\{7,9\}$, $\{1,3,7\}$, $\{1,3, 9\}$, $\{1,7,9\}$, $\{3,7,9\}$, $\{1,3,7,9\}$.
Для простоты мы можем идентифицировать каждую из этих $16$ отдельных групп символов с помощью одного символа или с одним цветом , как показано ниже:
Каждый из этих цветов показывает, сколько простых чисел содержится в одном десятке (и каких ). На практике мы просто разделили сложность простых чисел на десятки и цвета.
Это позволяет нам переставлять цвета в треугольнике Паскаля с помощью соответствующих десятков, получая следующую схему (числа в квадратах представляют десятки):
Сложность последовательности простых чисел теперь разделена. на ряды, диагонали и цвета.
Преимущество такого представления в том, что оно смешивает группы простых чисел, относящихся к дальним десяткам, что, возможно, позволяет идентифицировать закономерности и/или находить связи среди уже известных целочисленных последовательностей. Явным недостатком является то, что узоры на этом треугольнике зависят от того, какое основание мы используем.
Я частично представил это представление простых чисел здесь, но я не уверен, пересекаются ли эти дальнейшие разработки с какой-либо очень известной техникой (например, решетом Эратосфена?).
В заключение, чтобы не изобретать велосипед, мой вопрос:
Знаете ли вы, было ли уже придумано такое представление? В таком случае, не могли бы вы дать мне ссылку?
Извините за наивность и некорректность, и большое спасибо за ваши предложения и комментарии!
ПРИМЕЧАНИЕ: Предположение, содержащееся в следующем РЕДАКТИРОВКЕ, ЛОЖЬ , и в коде есть ошибка! Пожалуйста, если у вас есть хорошее программное обеспечение для создания изображения, пожалуйста, скажите мне! Спасибо! (Спасибо также Полу!)
РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы ответить на некоторые комментарии и принять этот улучшенный цветовой код,
я создал следующий график (исключая первые десять)
Я надеюсь, что в моем коде нет ошибки! Однако
Предполагается, что для очень больших чисел не может быть цветных квадратов, кроме как на внешнем краю треугольника ,
, что означает, что после определенного целого числа $N$ все простые числа будут падать в десятки (степени десяти), которые можно записать в виде $t=\binom{n}{k}$, где $k$ максимум $2,3,4$.
Это может привести к интересным следствиям, учитывая, что это свойство не должно сильно меняться в зависимости от основания, а простые числа бесконечны.
Как упоминалось в ПРИМЕЧАНИЕ, это изображение на самом деле неверно. Это должно выглядеть так:
Все еще работаю над этим!
Решето Эратосфена, числовой квадрат, вид кратных и простых чисел
Назван в честь греческого математика Эрастосфена, сита.
обеспечивает очень эффективный метод нахождения простых чисел.
Начнем с большой сетки целых чисел. Если мы используем
простое определение, что простое число — это любое число, имеющее ровно 2
факторы. Тогда мы можем исключить 1 как не простое число. Следующее число 2
первое простое число, оно также является единственным четным простым числом
количество.
Когда бы ни было найдено простое число, мы выбираем цвет, например, красный и
закрасьте все его кратные, так что для 2 это будет 2,4,6,8 …
Все, кроме 2, окрашенное в красный цвет, не может быть простым числом.
число, так как оно имеет более двух делителей (1,2 и само число). Мы
Теперь найдите следующее незакрашенное число, в данном случае 3.
Это следующее простое число. Вы можете использовать другой цвет, чтобы отметить его.
кратно 3,6,9,12 …
Процесс продолжается, ищем следующий номер, который еще не
раскрасили и раскрасили его несколько раз. В конце концов вы увидите только
оставшиеся простые числа.
Размеры сетки
Используйте ползунок, чтобы изменить размер от 2×2 до
до 30×30, действительно большие квадраты также могут показать, как работает метод
для больших чисел. Малые сетки могут быть использованы для изучения факторов
определенное число (обсуждается ниже).
Цвета
Чтобы выбрать определенный цвет, нажмите на него и удалите цвета
из сетки нажмите на белую кисть
Разделение цвета при включении
на нем квадрат может отображать более одного цвета.
Нажмите кнопку корзины, чтобы удалить все
цвета из сетки
Режимы
Активность имеет три различных режима.
В
ручной режим выберите цвет, затем нажмите и перетащите
количество квадратов, чтобы раскрасить их. В режиме кратных нажмите
квадрат и все его последующие кратные будут автоматически окрашены.
Окончательный автоматический режим пропустит сквозь сито,
автоматическое выделение цветов для каждого простого числа и его кратных. Этот
может быть полезно для большого количества квадратов, обратите внимание, нажмите старт
кнопку, чтобы начать процесс.
Скорость анимации
Используйте ползунок скорости анимации, чтобы
изменить скорость выделения кратных
Использование сита
Это упражнение имеет множество различных применений и может помочь объяснить многие
математические понятия, кроме нахождения простых чисел.
Поиск наименьшего/наименьшего общего кратного (НОК)
Этот пример будет хорошо работать со 100 квадратами или меньше, нажмите корзину, чтобы очистить сетку, выберите режим кратных и убедитесь, что разделить
цвет включен.
Таким образом, пример проблемы будет найти LCM 4,6. К
для этого щелкните значок красной краски и щелкните номер 4 в сетке, все
числа, кратные 4, теперь красные. Нажмите на желтую краску, а затем нажмите
число 6, все кратные 6 будут показаны желтым цветом. Ты
должны видеть, что общие кратные окрашены мальчиком в красный и желтый цвета, эти
составляют 12,24,36 … LCM наименьшего/наименьшего из них равен 12.
Вы можете сделать это для более чем двух номеров, просто убедитесь, что вы
используйте разные цвета для каждого из множителей, которые вы используете.
Нахождение делителей числа
Как и в примере с LCM, используются настройки по умолчанию, кратные
режим и разделение цветов.
Важно понимать взаимосвязь между факторами
и кратные. Например, если 12 является одним из кратных 4, то мы
знаю, что 4 должно быть множителем 12. Поэтому, используя сетку, если бы я хотел
проверьте, если 5 является коэффициентом 15, тогда я могу щелкнуть корзину, чтобы очистить сетку
а затем выберите цвет и нажмите 5, чтобы показать все его кратные.
Если
один из них равен 15, то мы знаем, что 5 действительно является множителем 15. Чтобы
проверьте, является ли 4 коэффициентом 15, вы можете либо очистить сетку, либо выбрать
другого цвета, а затем нажмите 4, в этом случае цвет не попадает
15 и поэтому мы знаем, что это не фактор.
Если вас интересует только число до 16, возможно
чтобы выбрать сетку 4×4 и назначить разные цвета для каждого числа
1-16. Таким образом, количество цветов на каждом числе дает его
количество факторов
Упражнение в классе простых факторов
Это задание для всего класса, так как оно может помочь учащимся
понять, как каждое число может быть выражено как произведение простых
числа. Начните с 100 квадратов, разделенных цветов и автоматического режима,
нажмите «Пуск», чтобы пройти через сито. После завершения простые числа имеют
один цвет границы, а составные числа имеют один или несколько сплошных
цвета. Эти цвета говорят, какие простые делители имеет число. Таким образом, для
пример номер 60 имеет 3 цвета: красный, желтый и салатовый.