Самое большое простое число в математике: Математики назвали самое большое простое число // Смотрим

Математик из США открыл самое большое простое число — РБК

adv.rbc.ru

adv.rbc.ru

adv.rbc.ru

Скрыть баннеры

Ваше местоположение ?

ДаВыбрать другое

Рубрики

Курс евро на 29 ноября
EUR ЦБ: 63,3

(+0,42)

Инвестиции, 16:00

Курс доллара на 29 ноября
USD ЦБ: 60,75

(+0,27)

Инвестиции, 16:00

МИД Армении сообщил об ответе Баку на предложения по мирному договору

Политика, 18:07

Победа Ганы и красная карточка тренера Кореи. Что происходит на ЧМ

Спорт, 18:06

Банк Японии сообщил об убытке свыше $6 млрд от владения гособлигациями

Инвестиции, 18:06

adv.rbc.ru

adv.rbc.ru

Украина в тестовом режиме начала импорт электроэнергии из Европы

Политика, 18:06

В Подмосковье загорелся ТЦ «Альбатрос». Видео

Общество, 18:05

Дубль Кудуса помог Гане победить Южную Корею на чемпионате мира

Спорт, 18:01

Макияж и шаурма: как отучить водителей отвлекаться от дороги

Партнерский проект, 18:00

Самые большие скидки года

Скидки до 55% на подписку РБК Pro. Доступ ко всем материалам

Оформить подписку

Российская нефть подешевела ниже предложенного ЕС потолка

Экономика, 17:58

Акции Biogen упали на 5% после смерти пациента при испытаниях препарата

Инвестиции, 17:52

Почему климатические инвестиции быстрее всего растут не в ЕС и США

РБК и Сбер, 17:38

Военная операция на Украине. Главное

Политика, 17:34

В День матери Maer разместил портреты мам своих сотрудников и клиентов

Пресс-релиз, 17:33

Сбившая мать с двумя детьми в Москве женщина была под наркотиками

Общество, 17:31

Стала известна дата премьеры юбилейного шоу «Голос. Дети» с новой ведущей

Life, 17:24

adv.rbc.ru

adv.rbc.ru

adv.rbc.ru

Американский математик открыл на данный момент самое большое простое число – так называемое 48-е число Мерсенна. Об этом в четверг сообщает Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).

Фото: РБК

Открытие совершил ученый из Миссури (США), доктор наук Куртис Купер. Найденное им число в десятичной записи составляет 17 425 170 символа. Для сравнения, предыдущее можно было записать, используя 12 978 189 символов.

Напомним, что простым числом в математике называется то число, которое делится на единицу и на само себя, таким образом имея только два делителя. Кроме того, существуют так называемые простые числа специального вида, то есть такие, простота которых устанавливается с использованием специализированных алгоритмов. Числа Мерсенна как раз относятся к простым числам специального вида, они встречаются крайне редко – современной науке известны только 48. Из них последние 14 были открыты в GIMPS.

Доктор Купер не в первый раз делает подобные открытия – это уже третье самое большое простое число, открытое им. Первый его рекорд был зарегистрирован в США в 2005г., затем в 2006г. Череду побед американского ученого прервал чужой рекорд, одержанный компьютером в Лос-Анджелесе в 2008г. Сегодняшним открытием доктор Купер вернул себе первенство.

adv.rbc.ru

Чтобы доказать, что открытое число действительно является простым, К.Куперу понадобилось 39 дней вычислений на одном из ПК университета. Одновременно сразу три машины осуществляли проверку полученных данных.

adv.rbc.ru

Числа Мерсенна названы в честь французского математика Марена Мерсенна, их последовательность начинается как 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255. Они получили известность в связи с эффективным критерием простоты Люка — Лемера, благодаря которому числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа. На практике они применяются для построения генераторов псевдо-случайных чисел с большими периодами, в качестве примера можно привести вихрь Мерсенна.

Самое большое простое число — πάπυρος — LiveJournal

Математики назвали самое большое простое число, которое когда-либо было определено. 17,425,170 — именно столько цифр содержится в самом большом простом числе, открытом на днях американскими математиками.

Простое число – это натуральное число, которое без остатка делится только на себя и на единицу. Так вот, в самом длинном простом числе насчитали 17,425,170 цифр. Это число заменяет открытое в 2008 году простое число, у которого количество цифр составляло всего лишь 12,978,189.

Новое число было открыто математиками из Университета Центрального Миссури, США. Подсчеты проходили в рамках проекта Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), являющийся широкомасштабным проектом добровольных вычислений, связанных с поиском простых чисел Мерсенна. Сама система представляет специально разработанное программное обеспечение, которое работает на тысячах компьютеров. При обнаружении самого большого простого числа проводится тщательная проверка, которая должна подтвердить, что число является простым. Компьютер с процессором на основе Intel i7, для примера, проверял на протяжении четырех с половиной суток, так что это действительно была непростая задача.

Прошлое самое большое простое число тоже нельзя было опубликовать в обычном издании; для сравнения, стандартная заметка на «Деталях мирах» насчитывает несколько тысяч знаков. Десять тысяч это уже большая статья, миллион знаков будет в книге, а миллиард, соответственно, небольшой библиотекой на тысячу томов. При печати убористым шрифтом самое большое простое число займет большой книжный шкаф, так что вряд ли кто-то решит переводить на это бумагу. Можно записать его в файл или воспользоваться изящной формой записи: рекордсмен в точности равен 257885161 — 1.

Числа вида 2N-1 еще называют числами Мерсенна по имени французского исследователя Марена Мерсенна, который описал их впервые еще в первой половине XVII века. Такие числа используются в программных генераторах псевдослучайных чисел — отсюда интерес к ним не только теоретиков, но и практиков. Большие простые числа также интересны специалистам по криптографии, поэтому организация Electronic Frontier Foundation даже утвердила награды в $50000, 100000, 150000 и 250000 за вычисление простых чисел с миллионом, десятью миллионами, ста миллионами и миллиардом знаков соответственно.

Сложная простота

Число простых чисел бесконечно и это легко доказать: возьмем все уже посчитанные простые числа, перемножим их между собой и прибавим единицу. При делении на любой сомножитель мы по определению получаем единицу в остатке, так что это число не делится ни на одно из предыдущих простых чисел. И, тем более, оно не может делится на что-то еще, кроме самого себя: проблема только в том, что вычислять такие числа с определенного момента слишком сложно даже при помощи суперкомпьютеров.

А числа Мерсенна 2N-1 отличаются тем, что их заметно проще вычислять и вдобавок существует специальный тест, позволяющий быстро (по сравнению с перебором всех простых сомножителей) доказать их простоту; числа Мерсенна давно стали самыми большими простыми… но пока никто не может сказать, существует ли самое большое простое число Мерсенна; на сегодня из всего множества таких чисел известно лишь 48 простых чисел Мерсенна.

Посмотреть полную версию самого большого числа можно на сайте www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/huge-prime-c.html

Tags: интересно, математика, наука, познавательно

Возможно ли самое большое простое число?

Ниже приведены два примечательных варианта классического доказательства Евклида бесконечного множества простых чисел. Первое — это упрощение, а второе — обобщение для колец с небольшим количеством единиц (= обратимых).

Теорема $\rm\,\N (N+1)\,$ имеет больший набор простых множителей, чем $\,\rm N > 0$.

Доказательство $\ $ $\rm N+1 > 1\,$, поэтому оно имеет простой делитель $\rm P$ (например, его наименьший делитель $> 1)$. $\,\rm N$ взаимно прост с $\rm N+1\,$, поэтому $\rm P$ не может делить $\rm N$ (иначе $\rm\, P$ делит $\rm N+1 \,$ и $\rm N$, а также их разность $\rm N+1 — N = 1).\,$ Таким образом, простые множители $\rm\, N(N+1)$ включают в себя все простые множители $ \rm N $ и хотя бы одно простое число $\rm P$, не делящее $\rm N$.

Следствие $\ $ Простых чисел бесконечно много.

Доказательство $\, $ Перебор $\rm\, N\to N (N+1)\, $ дает целые числа с неограниченным числом простых множителей.

Ниже, обобщая классический аргумент Евклида, приводится простое доказательство того, что бесконечное кольцо
имеет бесконечно много максимальных (то есть простых) идеалов, если в нем меньше единиц, чем элементов
(т.е. меньшей мощности). Ключевая идея состоит в том, что евклидовы строительство нового премьера
обобщает элементы на идеалы, т.е. при заданных максимальных идеалах $\rm P_1,\ldots,P_k$
тогда простое рассуждение с использованием $\rm CRT$ подразумевает, что $\rm 1 + P_1\cdots P_k$
содержит неединицу, лежащую в некотором максимальном идеале $\rm P$, который по построению
сомаксимален (настолько отличен) от априорных максимальных идеалов $\rm P_i.\,$ Ниже приведено полное доказательство, взятое из некоторых моих старых сообщений sci.math/AAA/AoPS.

Теорема $\ $ Бесконечное кольцо $\rm R$ имеет бесконечно много максимальных идеалов
если в нем меньше единиц $\rm U = U(R)$, чем элементов, т. е. $\rm\:|U| < |R|$.

Доказательство $\rm\ \ R$ имеет максимальный идеал $\rm P_1,\:$, так как неединица $\rm\: 0\:$ лежит в некотором максимальном идеале.
По индуктивности предположим, что $\rm P_1,\ldots,P_k$ — максимальные идеалы в $\rm R$ с произведением $\,\rm J.$

$\rm Case\ 1\!: \; 1 + J \not\subset U.\:$ Таким образом, $\rm 1 + J$ содержит неединичную $\rm p,\,$, лежащую в макс.
идеал $\rm P.$
Новое: $\rm\: P \neq P_i\:$, так как $\rm\: P + P_i = 1\:$ через $\rm\: p \in P,\ 1 — p \in J \subset P_i$

$\rm Case\ 2\!: \; 1 + J \subset U$ невозможно по следующим классификация аргумент.
$\rm R/J = R_1 \times \cdots \times R_k,\ R_i = R/P_i\:$ по китайской теореме об остатках.
Мы заключаем, что $\rm\ |U(R/J)| \leq |U|\ $, потому что $\rm\ uv \in 1 + J \subset U \Rightarrow u \in U. $
Таким образом, $\rm|U(R_i)| \leq |U(R/J)| \leq |U|\:$ через инъекцию $\rm u \mapsto (1,1,\ldots,u,\ldots,1,1).$
$\rm R_i$ поле $\rm\: \Rightarrow \ |Р| > 1 + |U| \geq |R_i|,\,$ и $\,\rm|J| \leq |U| < |R|\,$ через $\,\rm 1 + J \subset U.$
Следовательно, $\rm|R| = |R/J|\ |J| = |R_1|\ \cdots |R_k|\ |J|\:$ приводит к противоречию, что
бесконечный $\rm|R|$ является конечным произведением меньших кардиналов.

Я вспоминаю удовольствие от открытия этого «несколькоединичного» обобщения доказательства Евклида и других родственных теорем, когда читал классический учебник Капланского Коммутативные кольца , будучи студентом Массачусетского технологического института. Там Капланский представляет более простую область целостности
вариант как упражнение $8$ в разделе $1$-$1,\:$ а именно

(Это упражнение предлагается как модернизация теоремы Евклида о
бесконечность простых чисел.) Докажите, что бесконечная область целостности с
с конечным числом единиц имеет бесконечное число максимальных идеалов.

Я очень рекомендую классический учебник Капа всем, кто ищет
освоить теорию коммутативных колец. На самом деле я очень рекомендую
все у Капланского — почти всегда очень проницательно и
элегантный. Учитесь у мастеров! Подробнее о Капланском см.
этот интересный документ NAMS, который включает цитаты многих видных
математики (Басс, Эйзенбуд, Кадисон, Лам, Ротман, Лебедь и др.).

Мне нравился алгебраический взгляд на вещи.
Я также очарован, когда алгебраический
метод применяется к бесконечным объектам.
$\ $—Ирвинг Каплански

Примечание $ $ Читатели, знакомые с радикалом Джекобсона, могут заметить, что его можно использовать для описания отношений между единицами в $\rm R$ и $\rm R/J\:$, используемых в приведенном выше доказательстве. А именно

Теорема $\ $ TFAE в кольце $\rm\:R\:$ с единицами $\rm\:U,\:$ идеалом $\rm\:J,\:$ и радикалом Джекобсона $\rm \:Jac(R).$

$\rm(1)\quad J \subseteq Jac(R),\quad $ т. е. $\rm\:J\:$ лежит в каждом максимальном идеале $\rm\:M \:$ из $\rm\:R$

$\rm(2)\quad 1+J \subseteq U,\quad\ \ $ т.е. $\rm\: 1 + j\:$ является единицей для каждого $\rm\: j \in J$

$\rm(3)\quad I\neq 1\ \Rightarrow\ I+J \neq 1,\qquad\ $ т.е. собственные идеалы сохраняются в $\rm\:R/J$

$\rm(4 )\quad M\:$ max $\rm\:\Rightarrow M+J \ne 1,\quad $ т. е. максимальные идеалы выживают в $\rm\:R/J$

Доказательство $\: $ (эскиз ) $\ $ С $\rm\:i \in I,\ j \in J,\:$ и максимальным идеалом $\rm\:M,$

$\rm(1\Rightarrow 2)\quad j \ всего\ M\ \Rightarrow\ 1+j \in no\ M\ \Rightarrow\ 1+j\:$ ед.

$\rm(2\Rightarrow 3)\quad i+j = 1\ \Rightarrow\ 1-j = i\:$ единица $\rm\:\Rightarrow I = 1$

$\rm(3\Rightarrow 4)\ \ \ $ Пусть $\rm\:I = M\:$ макс.

$\rm(4\Rightarrow 1)\quad M+J \ne 1 \Rightarrow\ J \subseteq M\:$ на $\rm\:M\:$ макс.

доказательство — Сколько существует способов доказать, что не существует наибольшего простого числа?

Задавать вопрос

спросил
6 лет, 9 месяцев назад

Изменено
6 лет, 9несколько месяцев назад

Просмотрено
3к раз

$\begingroup$

Есть ли другое доказательство того, что не существует самого большого простого числа?

Я видел пример, где это доказывается с противоречием. (Идея в основном та же, что и в доказательстве Евклида)

Представьте, что самое большое простое число равно $13$. Итак, общее количество известных нам простых чисел равно $2,3,5,7,11,13$.

Теперь, если я сделаю $(2\times3\times5\times7\times11\times13)+1=30031$. Таким образом, мы увидим, что $30031$ не делится на $2,3,5,7,11,13$ так как они оставляют остаток $1$. Кроме того, поскольку оно образуется путем умножения только простых чисел, оно не имеет других составных множителей. Мы также видим, что $30031=59.\times 509$. Это снова два простых числа. Таким образом, $13$ не является самым большим простым числом.

Какие есть другие способы доказать, что не существует самого большого простого числа?

Спасибо за любое доказательство!!

• простые числа
• корректура
• большой список

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Обратите внимание, что все числа Ферма взаимно просты друг с другом.

Таким образом, если существует конечное число простых чисел, это противоречие, поскольку существует бесконечное число чисел Ферма.

Таким образом, существует бесконечное количество простых чисел.

Итак, самого большого простого числа нет.

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Что ж, показанное вами доказательство не совсем правильное.

Доказательство:
Предположим, что существует конечное число простых чисел.

Пусть $s$ — множество всех возможных простых чисел. И пусть простые числа будут $p_1, p_2, p_3, \dots , p_n$.

Теперь по Фундаментальной теореме арифметики мы знаем, что каждое число является простым или уникальным произведением простых чисел.

Рассмотрим число $p_1 p_2 p_3 \cdots p_n +1$. Мы знаем, что оно не делится ни на одно из чисел множества $s$.