Самое большое простое число в математике: Математики назвали самое большое простое число // Смотрим |

Содержание

определение, наименьшее и наибольшее простое число, список простых чисел

Основа основ математики — простые числа. Распознать их несложно по одному свойству — способности делиться на единицу и себя. Вместе с экспертом разбираемся, что важно знать о простых числах и их особенностях

Екатерина Заева

Автор КП

Наталия Черняк

Учитель математики

Простые числа — это настоящий строительный материал в математике. Это крупинки муки, из которой пекут хлеб. Это кирпичи, из которых строят дом. Это буквы, которые образуют слова. Простые числа лежат в основе всех расчётов и методов математического анализа. Именно с их изучения начинается математика.

Однако простыми эти числа только называются. При ближайшем рассмотрении и изучении они оказываются не такими уж и простыми. Их появление не поддаётся какой-либо логике или математическому алгоритму. Получается, что их нужно просто принять и использовать.

Определение простых чисел

Простым называется любое натуральное число, которое больше единицы и имеет два конкретных делителя: себя и единицу. Простые числа могут состоять как из одной, так и из нескольких цифр — вплоть до десятков тысяч. Например, простыми будут числа 7, 47, 617, 1567, 22277, 681787 и так далее.

В ТЕМУ

Взаимно простые числа

Это числа, чей наибольший общий делитель равен единице. Например, 2, 11 и 419. Их объединяет только одно: возможность деления на единицу.

При этом взаимно простыми могут быть не только простые, но и составные числа. Так, 4 и 23 будут взаимно простыми. Поскольку их объединяет один показатель — способность делиться на единицу.

В ТЕМУ

Самое большое простое число

Долгое время самым большим известным простым числом считалось простое число Мерсенна (M_57885161). В его состав входит 17 425 170 десятичных цифр. Однако в век искусственного интеллекта и компьютерных технологий было обнаружено куда большее простое число. Это число — 282 589 933−1. Оно было зафиксировано в 2018 году благодаря проекту добровольных распределенных вычислений GIMPS. Десятичная запись этого числа представляет собой 24 862 048 цифр, что значительно превышает показатели предыдущего.

Наименьшее простое число

Наименьшим простым числом является 2. Это натуральное число, которое имеет два делителя — 1 и 2. Примечательно, что 2 — не только наименьшее простое число, но и единственное чётное простое число.

Список простых чисел до 100

До 100 встречается 25 простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Еще до нашей эры греческий математик Эратосфен придумал, как можно «вычислить» простые числа. Так, в цифровом ряду, скажем, от 20 до 50, сначала нужно удалить все числа кратные 2. Затем — 3, 5 и далее. В итоге останутся простые числа.

В ТЕМУ

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Наталия Черняк, учитель математики

Как определить, простое число или нет?

Это определяется с помощью деления. Например, возьмём два натуральных числа — 5 и 6 — и найдём их на делители. Это будет выглядеть так:

5 делится на 1 и 5;
6 делится на 1, 2, 3 и 6.

Как видим, у этих чисел разное количество делителей. А значит, и числа разные: одно простое, другое составное. Отсюда вытекает и определение простого числа: если натуральное число делится на 1 и на самого себя, то оно и есть простое.

Однако самый доступный способ определения простого числа — перебор делителей — для больших чисел не очень подходит. Например, вручную перебирать делители для числа 1283 — дело трудоёмкое. Поэтому для определения большого простого числа используют специальные компьютерные программы распознавания простых чисел.

Как доказать, что числа взаимно простые?

Доказать несложно. Достаточно посмотреть на их делители, как в предыдущем примере. Если оба числа не имеют общих делителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми. В частности, как числа 5 и 6. А вот числа 4 и 6 взаимно простыми уже не будут, так как у них два общих делителя — 1 и 2.

Почему 1 не является простым числом?

1 в математике всегда занимает обособленную позицию. Этой обособленностью объясняется, то что 1 не принадлежит к простым числам. И доказать это не сложно. Из определения простого числа понятно, что оно делится на единицу и самого себя. Иными словами, должны быть два разных делителя. У 1 этого нет.

Простые числа

Пройдите наш несложный тест и посмотрите, насколько хорошо вы поняли тему и запомнили, что такое простые числа.

Пройти тест

Дальше

Проверить

Узнать результат

85 и 187

56785 и 5

331 и 773

Дальше

Проверить

Узнать результат

Нет, не может

Да, может

Дальше

Проверить

Узнать результат

101, 103, 107, 109, 113, 127

101, 103, 107, 109, 111, 113, 117, 119, 127

101, 103, 107, 113

101, 103, 107, 109, 113, 117, 123, 127

Дальше

Проверить

Узнать результат

244 х 1

153 х 1

177 х 1

359 х 1

Дальше

Проверить

Узнать результат

Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и далее в порядке возрастания.

8045

678

Дальше

Проверить

Узнать результат

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, которая делится исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным числам.

Дальше

Проверить

Узнать результат

Не расстраивайтесь! Перечитайте статью еще раз и повторите попытку. Все получится!

Пройти еще раз

Не расстраивайтесь! Перечитайте статью еще раз и повторите попытку. Все получится!

Пройти еще раз

Неплохо, но результат может быть лучше. Попробуйте еще раз.

Пройти еще раз

Неплохо, но результат может быть лучше. Попробуйте еще раз.

Пройти еще раз

Отличный результат! Похоже, вы хорошо разобрались с темой.

Пройти еще раз

Фото на обложке: pixabay.com

Какое самое большое число (простое или натуральное)

Иногда люди, не связанные с математикой, задаются вопросом: какое самое большое число? С одной стороны, ответ очевиден – бесконечность. Зануды даже уточнят, что «плюс бесконечность» или «+∞» в записи математиков. Вот только самых въедливых этот ответ не убедит, тем более, что это не натуральное число, а математическая абстракция. Но хорошо разобравшись в вопросе, они могут открыть перед собой интереснейшую проблему.

Действительно, предела размера в данном случае не существует, но существует предел человеческой фантазии. Для каждого числа есть название: десять, сто, миллиард, секстиллиард и так далее. Но где же заканчивается фантазия людей?

Гугол

Не путать с торговой маркой корпорации Google, хотя они и имеют общее происхождение. Это число записывается как 10100, то есть, единица и за ней хвостиком сто нулей. Представить его сложно, но оно активно использовалось в математике.

Забавно, что придумал его ребенок — племянник математика Эдварда Казнера. В 1938 году дядюшка развлекал младших родственников рассуждениями об очень больших числах. К возмущению ребенка оказалось, что такое замечательное число не имеет названия, и он привел свой вариант. Позже дядюшка вставил его в одну из своих книг, и термин прижился.

Теоретически, гугол – это натуральное число, ведь его можно использовать для счета. Вот только вряд ли у кого-то хватит терпения досчитать до его конца. Поэтому, только теоретически.

А что касается названия компании Google, то тут закралась обычная ошибка. Первый инвестор и один из сооснователей, когда выписывал чек, очень спешил, и пропустил букву «О», но чтобы обналичить его, компанию пришлось регистрировать именно по такому варианту написания.

Гуголплекс

Это число – производная от гугола, но ощутимо больше его. Приставка «плекс» означает, возведениее десятки в степень, равную основному числу, таким образом, гулоплекс – это 10 в степени 10 в степени 100 или 101000.

Получившееся число – превышает количество частиц в обозримой Вселенной, которое оценивается где-то в 1080 степени. Но это не помешало ученым увеличивать число простым добавлением к нему приставки «плекс»: гуголплексплекс, гуголплексплексплекс и так далее. А для особо извращенных математиков изобрели вариант увеличения без бесконечного повторения приставки «плекс» — перед ней просто ставят греческие числа: тетра (четыре), пента (пять) и так далее, вплоть до дека (десять). Последний вариант звучит как гуголдекаплекс и означает десятикратное накопительное повторение процедуры возведения числа 10 в степень его основания. Главное, не представлять себе результат. Осознать его все равно не получится, но получить травму психики – запросто.

48-ое число Мерсена

Главные герои: Купер, его компьютер и новое простое число

Сравнительно недавно, около года назад, удалось открыть очередное, 48-ое число Мерсена. На данный момент оно — самое большое простое число в мире. Напомним, что простые числа – это те, которые делятся без остатка только на единицу и на себя. Простейшие примеры – 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Проблема в том, что чем дальше в дебри, тем реже такие числа встречаются. Но тем ценнее обнаружение каждого следующего. К примеру, новое простое число состоит из 17 425 170 знаков, если его представить в виде привычной нам десятичной системы счисления. В предыдущем было около 12 миллионов знаков.

Обнаружил его американский математик Кертис Купер, который уже в третий раз обрадовал математическую общественность подобным рекордом. Только на то, чтобы проверить его результат и доказать, что это число действительно простое, потребовалось 39 дней работы его персонального компьютера.

Число Грэма

Так выглядит запись числа Грэма в стрелочной нотации Кнута. Как это расшифровать, сказать сложно, не имея законченного высшего образования в теоретической математике. Записать же его в привычном нам десятичном виде тоже невозможно: наблюдаемая Вселенная просто не в состоянии вместить его. Городить степень на степень, как в случае с гуголплексами, тоже не выход.

Хорошая формула, только непонятная

Так зачем же нужно это бесполезное на первый взгляд число? Во-первых, его для любопытных поместили в Книгу рекордов Гиннеса, а это уже немало. Во-вторых, оно использовалось для решения задачи, входящей в проблему Рамсея, что тоже непонятно, но звучит серьезно. В-третьих, это число признано самым большим, использовавшимся когда либо в математике, и не в шуточных доказательствах или интеллектуальных играх, а для решения вполне конкретной математической проблемы.

Внимание! Следующая информация опасна для вашего психического здоровья! Читая её, вы принимаете на себя ответственность за все последствия!

Для желающих испытать свой разум и помедитировать на число Грэма, можем постараться объяснить его (но только постараться).

Представьте себе 33. Это довольно легко – получается 3*3*3=27. А если теперь возвести тройку в это число? Получится 3³ в 3 степени, или 3²⁷. В десятичной записи это равно 7 625 597 484 987. Много, но пока это можно осознать.

В стрелочной нотации Кнута это число можно отобразить несколько проще — 3↑↑3. Но если прибавить только одну стрелочку, получится уже сложнее: 3↑↑↑3, что означает 3↑↑3 в степень 3↑↑3 или в степенной записи . Если развернуть в десятичную запись, получим 7 625 597 484 987^{7 625 597 484 987}. Ещё получается следить за мыслью?

Советуем почитать статью:

Какой самый быстро работающий браузер?

Следующий этап: 3↑↑↑↑3= 3↑↑↑↑3^{3↑↑↑↑3}. То есть, нужно высчитать это дикое число из предыдущего действия и возвести его в такую же степень.

А 3↑↑↑↑3 – это только первый из 64 членов числа Грэма. Чтобы получить второй, нужно высчитать результат этой зубодробительной формулы, и подставить в схему 3(↑…↑)3 соответствующее количество стрелочек. И так далее, ещё 63 раза.

Интересно, у кого-то кроме него и ещё десятка суперматематиков получится добраться хотя бы до середины последовательности и не сойти при этом с ума?

Вы что-то поняли? Мы – нет. Но какой кайф!

Зачем нужны самые большие числа? Обывателю сложно это понять и осознать. Но единицы специалистов с их помощью способны представить тем самым обывателям новые технологические игрушки: телефоны, компьютеры, планшеты. Обыватели точно также не способны понять, как они работают, но зато с удовольствием используют их для своего развлечения. И все счастливы: обыватели получают свои игрушки, «суперботаники» – возможность и дальне играть в свои игры разума.

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Простые числа — это больше, чем числа, которые делятся на себя и на единицу. Это математическая загадка, которую математики пытаются разгадать с тех самых пор, когда Евклид доказал, что им нет конца. Проект Great Internet Mersenne Prime Search, перед которым стоит задача поиска большого числа простых чисел особо редкого вида, недавно открыл самое большое простое число, известное на сегодняшний день. В нем 23 249 425 цифр — это достаточно, чтобы заполнить книгу из 9000 страниц. Для сравнения: количество атомов во всей наблюдаемой Вселенной оценивается в число с не более чем сотней знаков.

Новое число, которое записывается как 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (два в 77 232 917-й степени минус один), было обнаружено волонтером, который посвятил 14 лет вычислительного времени этому поиску.

Возможно, вас удивит, зачем нам знать число, которое растягивается на 23 миллиона знаков? Ведь самые важные числа для нас — это те, которые мы используем для количественного описания нашего мира? Так, да не так. Нам нужно знать о свойствах различных чисел, чтобы не только развивать технологии, от которых мы зависим, но и сохранять их безопасность.

Безопасность простых чисел

Одно из самых распространенных применений простых чисел — система шифрования RSA. В 1978 году Рональд Ривести, Ади Шамир и Леонард Адлеман взяли за основу простейшие известные факты о числах и создали RSA. Разработанная ими система позволяла передавать информацию в зашифрованном виде — вроде номера кредитной карточке — и через Интернет.

Первым ингредиентом алгоритма стали два больших простых числа. Чем больше эти числа, тем безопаснее шифрование. Числа, которые используются для счета, один, два, три, четыре и так далее — известные также как натуральные числа — также чрезвычайно полезны для этого процесса. Но простые числа лежат в основе всех натуральных чисел и поэтому более важны.

Возьмем, к примеру, число 70. Оно делится на 2 и 35. Далее, 35 — произведение 5 и 7. 70 — это произведение трех меньших чисел: 2, 5 и 7. На этом все, потому что они уже не разбиваются. Мы нашли первичные компоненты, составляющие 70, осуществили его факторизацию.

Перемножение двух чисел, даже очень больших, — это утомительная, но простая задача. Факторизация же целого числа, с другой стороны, — это сложно, поэтому система RSA использует это преимущество.

Допустим, Алиса и Боб хотят секретно пообщаться в Интернете. Им нужна система шифрования. Если они сначала встретятся лично, они могут оговорить метод шифрования и дешифрования, который будет известен только им, но если же первый разговор состоится в онлайне, им придется сперва открыто обсудить систему шифрования — а это риск.

Однако если Алиса выберет два больших числа, рассчитает их произведение и сообщит об этом открыто, определить первоначальные простые числа будет очень сложно, потому что только она знает факторы.

Поэтому Алиса сообщает свое произведение Бобу, сохраняя в тайне факторы. Боб использует произведение для шифрования своего послания Алисе, которое можно расшифровать только при помощи известных ей факторов. Если Ева захочет подслушать, она никогда не сможет расшифровать сообщение Боба, если не заполучит факторы Алисы, а Алиса, конечно, будет против. Если Ева попытается разложить произведение — даже при помощи самого быстрого суперкомпьютера — у нее это не получится. Просто не существует такого алгоритма, который справился бы с этой задачей за время жизни Вселенной.

В поиске простых

Большие простые числа также используются в других криптосистемах. Чем быстрее компьютеры, тем больше числа, которые они могут взломать. Для современных приложений достаточно простых чисел, содержащих сотни цифр. Эти числа незначительны по сравнению с недавно обнаруженным гигантом. На самом деле новое простое число настолько большое, что в настоящее время ни один возможный технологический прогресс в скорости вычислений не может привести к необходимости использовать его для криптографической безопасности. Вполне вероятно, что даже риски, обусловленные появлением квантовых компьютеров, не потребуют использования таких монстров для безопасности.

Тем не менее не поиск более безопасных криптосистем и не улучшающиеся компьютеры стали причиной последнего открытия Мерсенна. Это математики одержимы поиском драгоценностей внутри сундука с надписью «простые числа». Эта жажда началась со счета «один, два, три…» и до сих пор ведет нас дальше. А то, что вместе с тем произошла революция в области Интернета, это случайность.

Известный британский математик Годфри Гарольд Харди сказал: «Чистая математика в целом значительно более полезна, чем применяется. Полезным ее делает техника, а математическая техника учится по большей части у чистой математики». Станут ли гигантские простые числа полезными, непонятно. Но поиск таких знаний утоляет интеллектуальную жажду человеческого рода, которая началась с евклидового доказательства бесконечности простых чисел.

Научные экспериментыСуперкомпьютеры

Для отправки комментария вы должны или

Что такое простое число? Объяснение для учителей, родителей и детей

Простое число — это число, которое можно разделить только само на себя и на 1 без остатка. Здесь мы подробно объясним, что это значит, дадим вам список простых чисел, которые дети должны знать в начальной и средней школе, и предоставим вам несколько практических вопросов и примеров.

Что такое простое число?

Простое число — это целое число больше 1, имеющее только два делителя — само себя и 1.

Простое число нельзя разделить ни на какие другие положительные целые числа без остатка, десятичной дроби или дроби.

Примером простого числа является 13. Его делителями являются только 1 и 13. При делении простого числа на другое натуральное число остаются числа. Например, 13 ÷ 6 = 2, остаток 1.

15 не является примером простого числа, потому что оно может делиться на 5 и 3, а также само по себе, а 1.

15 является примером составного числа. число, потому что оно имеет более двух делителей.

Простые числа часто рассматриваются математиками в качестве «кирпичиков» в теории чисел. Основная теорема арифметики гласит, что составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

См. также: Правила делимости

Примеры простых чисел

Как определить, является ли заданное число простым или составным, на основе свойств простых чисел.

Какие простые числа?

Меньше 20 есть 8 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Существует 25 простых чисел от 1 до 100.
Простые числа включают большие числа и могут продолжаться далеко за пределы 100.
Например, 21 577 — простое число.

Список простых чисел до 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 , 71, 73, 79, 83, 89, 97

Обратите внимание, что этот список простых чисел содержит только нечетные числа, за исключением числа 2.

Наименьшее простое число

2 — наименьшее простое число. Кроме того, это единственное четное простое число — все остальные четные числа могут делиться как минимум сами на себя, на 1 и 2, то есть у них будет как минимум 3 делителя.

Наибольшее простое число

Греческий математик Евклид (один из самых известных математиков классической эпохи) записал доказательство того, что среди множества простых чисел нет наибольшего простого числа. Тем не менее, многие ученые и математики все еще пытаются найти его в рамках Великого Интернет-поиска простых чисел Мерсенна.

наибольшее известное простое число (по состоянию на ноябрь 2020 г.) равно 2 ^{82 589 933} − 1, число, состоящее из 24 862 048 цифр при записи по основанию 10. , имеющий 23 249 425 цифр.

К тому времени, как вы это прочтете, он может стать еще больше, но вы можете следить за его развитием в Википедии.

Часто задаваемые вопросы о простых числах

Что такое простое число в математике?

Простое число — это число, которое можно разделить только на себя и на 1 без остатка.

Какие простые числа от 1 до 100?

Простые числа от 1 до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Почему 1 не простое число?

1 не является простым числом, потому что оно имеет только один делитель, а именно 1. Простые числа должны иметь ровно два делителя.

Почему 2 простое число?

2 — простое число, потому что его единственными делителями являются 1 и оно само.

Является ли 51 простым числом?

51 не является простым числом, потому что оно имеет 3 и 17 в качестве делителей, а также само себя и 1. Другими словами, 51 имеет четыре делителя.

БЕСПЛАТНЫЙ набор математических игр и заданий для 5-го класса

17 увлекательных математических игр и заданий для учащихся 5-го класса, которые можно выполнять самостоятельно или с партнером.

Как простые числа используются в реальном мире?

Одним из наиболее важных применений простых чисел является кибербезопасность — обеспечение большей безопасности информации, передаваемой через Интернет.

Чтобы зашифровать (защитить) такие вещи, как данные кредитной карты, медицинские записи и даже некоторые службы обмена сообщениями, такие как WhatsApp, инженеры-программисты создают алгоритмы, используя простые числа.

Перемножая два очень больших простых числа (некоторые компании используют простые числа, состоящие из сотен цифр!), мы получаем еще большее число, исходные множители которого (два очень больших простых числа) известны только нам. Затем мы используем это еще большее число для шифрования нашей информации.

Если кто-то еще хочет узнать, какую информацию мы посылаем, он должен выяснить, каковы были наши первоначальные факторы. С такими длинными простыми числами, как те, которые мы использовали, им могут потребоваться годы или даже десятилетия постоянных проб и ошибок, прежде чем они найдут хотя бы одно. Такая криптография с открытым ключом обеспечивает безопасность нашей информации.

Хотите знать, как объяснить своим детям другие ключевые слова по математике? Ознакомьтесь с нашим словарем Primary Math Dictionary или попробуйте эти основные математические термины:

Что такое кубическое число: объяснение для основных родителей и детей
Что такое наименьшее общее кратное: объяснение для основных родителей и детей
Что такое наивысший общий делитель: объяснение для основных родителей и детей

Вопросы о простых числах

1) Квадратное число и простое число имеют в сумме 22. Какие это два числа?

A: 9 и 13

2) Эмма думает о двух простых числах. Она складывает два числа вместе. Ее ответ — 36. Напишите все возможные пары простых чисел, которые могла придумать Эмма.

А: 3 и 33; 5 и 31; 7 и 29; 13 и 23; 17 и 19

3) Обведите два простых числа – 29, 59, 39, 69, 29

A: 29 и 59

4) Запишите три простых числа, при умножении которых получается 231.

27 A: 3 x 7 x 11

ЗАДАЧА: Чен выбирает простое число. Он умножает его на 10, а затем округляет до ближайшей сотни. Его ответ — 400. Напишите все возможные простые числа, которые мог выбрать Чен.

A: 37, 41 или 43.

Онлайн-центр Third Space Learning Maths Hub содержит сотни математических ресурсов для учителей начальной школы и родителей, которые можно использовать в школе и дома. Регистрация на бесплатных математических ресурсах выполняется быстро, легко и доступна для всех сотрудников вашей школы. Чтобы получить доступ к премиум-ресурсам, вашей школе потребуется премиум-подписка Maths Hub. Кроме того, доступ ко всем ресурсам премиум-класса включен бесплатно для школ, подписавшихся на наше онлайн-обучение по математике.

Рабочие листы с простыми числами

Готовые уроки 5-го класса Умножение и деление (осенний блок 4) Слайды и рабочие листы
Готовые уроки 6-го класса 4 Операции (осенний блок 2) Слайды и рабочие листы
Год Рабочий лист 5 рабочих примеров: умножение и деление 1
Рабочий лист 6 рабочих примеров: четыре операции

Видео с простыми числами

Как учить простые и составные числа

Есть ли у вас ученики, которым нужна дополнительная помощь по математике?
Предоставьте своим учащимся четвертого и пятого классов больше возможностей для закрепления навыков обучения и практики с помощью персонализированного обучения элементарной математике с их собственным онлайн-репетитором по математике.

Каждый учащийся получает дифференцированное обучение, предназначенное для устранения индивидуальных пробелов в обучении, а организованное обучение гарантирует, что каждый учащийся учится в нужном темпе. Уроки соответствуют стандартам и оценкам вашего штата, плюс вы будете получать регулярные отчеты о каждом шаге.

Программы доступны для четвертого и пятого классов, и вы можете попробовать 6 уроков абсолютно бесплатно.

Содержание этой статьи изначально было написано учителем начальных классов Софи Бартлетт, а затем было отредактировано и адаптировано для школ США учителем математики начальных классов Кэти Китон.

простых чисел — почему они так интересны? · Frontiers for Young Minds

Abstract

Простые числа привлекали внимание человечества с первых дней существования цивилизации. Мы объясняем, что они из себя представляют, почему их изучение волнует как математиков, так и любителей, а по пути открываем окно в мир математики.

С самого начала человеческой истории простые числа вызывали человеческое любопытство. Кто они такие? Почему вопросы, связанные с ними, такие сложные? Одна из самых интересных вещей, связанных с простыми числами, — это их распределение среди натуральных чисел. В малом масштабе появление простых чисел кажется случайным, но в большом масштабе появляется закономерность, которая до сих пор не до конца изучена. В этой короткой статье мы попытаемся проследить историю простых чисел с древних времен и использовать эту возможность, чтобы погрузиться и лучше понять мир математики.

Составные и простые числа

Вы когда-нибудь задумывались, почему сутки делятся ровно на 24 часа, а окружность на 360 градусов? У числа 24 есть интересное свойство: его можно разделить на целых равных частей относительно большим числом способов. Например, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6 и т. д. (остальные варианты заполните сами!). Это означает, что сутки можно разделить на две равные части по 12 часов каждая, дневную и ночную. На фабрике, которая работает без остановок в 8-часовые смены, каждый день делится ровно на три смены.

По этой же причине окружность была разделена на 360°. Если круг разделить на две, три, четыре, десять, двенадцать или тридцать равных частей, каждая часть будет содержать целое число степеней; и есть дополнительные способы деления круга, которые мы не упомянули. В древности деление круга на равные по размеру сектора с высокой точностью было необходимо для различных художественных, астрономических и инженерных целей. С компасом и транспортиром как единственными доступными инструментами деление круга на равные сектора имело большое практическое значение. ¹

Целое число, которое можно записать как произведение двух меньших чисел, называется составным числом . Например, уравнения 24 = 4 × 6 и 33 = 3 × 11 показывают, что 24 и 33 — составные числа. Число, которое нельзя разбить таким образом, называется простым числом . Числа

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29

являются простыми числами. На самом деле это первые 10 простых чисел (при желании можете проверить это сами!).

Глядя на этот краткий список простых чисел, уже можно сделать несколько интересных наблюдений. Во-первых, кроме числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным. Таким образом, расстояние между любыми двумя простыми числами в строке (называемое последовательных простых чисел) не меньше 2. В нашем списке мы находим последовательные простые числа, разница которых ровно 2 (например, пары 3,5 и 17, 19). Существуют также большие промежутки между последовательными простыми числами, например, разрыв в шесть чисел между 23 и 29.; каждое из чисел 24, 25, 26, 27 и 28 является составным числом. Еще одно интересное наблюдение состоит в том, что в каждой из первой и второй групп из 10 чисел (имеется в виду между 1–10 и 11–20) есть четыре простых числа, а в третьей группе из 10 (21–30) только два. Что это значит? Становятся ли простые числа реже по мере их роста? Может ли кто-нибудь пообещать нам, что мы сможем бесконечно находить все больше и больше простых чисел?

Если на этом этапе вас что-то волнует и вы хотите продолжить изучение списка простых чисел и поднятых нами вопросов, значит, у вас математическая душа. Останавливаться! Не продолжайте читать! ² Возьмите карандаш и лист бумаги. Запишите все числа до 100 и отметьте простые числа. Проверьте, сколько существует пар с разницей в два. Проверьте, сколько простых чисел в каждой группе из 10. Сможете ли вы найти закономерности? Или список простых чисел до 100 кажется вам случайным?

Немного истории и концепция теоремы

Простые числа привлекали внимание человека с древних времен и даже ассоциировались со сверхъестественным. Даже сегодня, в наше время, есть люди, пытающиеся составить простые числа с числом 9.0220 мистических свойств. Известный астроном и писатель Карл Саган в 1985 году написал книгу под названием «Контакт», посвященную инопланетянам (человекоподобной культуре за пределами Земли), пытающимся общаться с людьми, используя простые числа в качестве сигналов. Идея о том, что сигналы, основанные на простых числах, могут служить основой для связи с внеземными культурами, до сих пор будоражит воображение многих людей.

Принято считать, что серьезный интерес к простым числам начался еще во времена Пифагора. Пифагор был древнегреческим математиком. Его ученики, пифагорейцы, частично ученые, частично мистики, жили в шестом веке до нашей эры. Они не оставили письменных свидетельств, и то, что мы знаем о них, исходит из историй, которые передавались устно. Триста лет спустя, в третьем веке до нашей эры, Александрия (в современном Египте) была культурной столицей греческого мира. Евклид (рис. 1), живший в Александрии во времена Птолемея Первого, может быть известен вам по евклидовой геометрии, названной его именем. Евклидова геометрия преподается в школах более 2000 лет. Но Евклида также интересовали числа. В девятой книге его сочинения «Начала» в предложении 20 впервые появляется математическое доказательство теоремы о том, что существует бесконечно много простых чисел.

Рисунок 1
Люди, стоящие за простыми числами.

Это хорошее место, чтобы сказать несколько слов о концепциях теоремы и математического доказательства. Теорема — это утверждение, выраженное на математическом языке, и можно с уверенностью сказать, что оно либо верно, либо неверно. Например, теорема «бесконечно много простых чисел» утверждает, что в системе натуральных чисел (1,2,3…) список простых чисел бесконечен. Точнее говоря, эта теорема утверждает, что если мы напишем конечный список простых чисел, то всегда сможем найти другое простое число, которого нет в этом списке. Чтобы доказать эту теорему, недостаточно указать дополнительное простое число для конкретного заданного списка. Например, если мы укажем 31 как простое число вне списка первых 10 простых чисел, упомянутого ранее, мы действительно покажем, что этот список не включает все простые числа. Но, может быть, прибавив 31, мы нашли все простые числа, и больше их нет? Что нам нужно сделать, и что Евклид сделал 2300 лет назад, так это представить убедительный аргумент, почему для любой конечный список, каким бы длинным он ни был, мы можем найти простое число, не входящее в него. В следующем разделе мы представим доказательство Евклида, не обременяя вас излишними подробностями.

Доказательство Евклида существования бесконечного множества простых чисел

Чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел, Евклид использовал другую известную ему основную теорему, а именно: « каждое натуральное число можно записать в виде произведение простых чисел ». Легко убедиться в истинности этого последнего утверждения. Если вы выберете число, которое не является составным, то оно само будет простым. В противном случае вы можете записать выбранное вами число как произведение двух меньших чисел. Если каждое из меньших чисел является простым, вы представили свое число как произведение простых чисел. Если нет, запишите меньшие составные числа как произведения еще меньших чисел и так далее. В этом процессе вы продолжаете заменять любые составные числа произведениями меньших чисел. Поскольку невозможно делать это вечно, этот процесс должен закончиться, и все меньшие числа, которые у вас получатся, больше нельзя будет разбить, то есть они будут простыми числами. В качестве примера, давайте разобьем число 72 на его простые делители:

72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3.

Основываясь на этом основном факте, теперь мы можем объяснить прекрасное доказательство бесконечности Евклида. множества простых чисел. Мы продемонстрируем эту идею, используя список первых 10 простых чисел, но заметим, что эта же идея работает для любого конечного списка простых чисел. Перемножим все числа в списке и добавим к результату единицу. Присвоим полученному номеру имя N . (значение N на самом деле не имеет значения, так как аргумент должен быть действителен для любого списка.)

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29)+1.

Число N , как и любое другое натуральное число, можно записать в виде произведения простых чисел. Кто эти простые числа, простые делители N ? Мы не знаем, потому что мы их не вычисляли, но одно мы знаем точно: все они делят N на . А вот номер N оставляет остаток единицы при делении на любое из простых чисел в нашем списке 2, 3, 5, 7,…, 23, 29. Предполагается, что это полный список наших простых чисел, но ни одно из них не делит N . Итак, простых делителей N нет в этом списке, и, в частности, должны быть новые простые числа после 29.

Решето Эратосфена

Вы нашли все простые числа меньше 100? Какой метод вы использовали? Вы проверяли каждое число по отдельности, чтобы увидеть, делится ли оно на меньшие числа? Если вы выбрали именно этот путь, вы определенно потратили много времени. Эратосфен (рис. 1), один из величайших ученых эллинистического периода, жил через несколько десятилетий после Евклида. Работал главным библиотекарем в библиотеке № 9.0220 Александрия , первая библиотека в истории и самая большая в древнем мире. Он интересовался не только математикой, но и астрономией, музыкой и географией и первым вычислил окружность Земли с впечатляющей для своего времени точностью. Среди прочего, он придумал хитрый способ найти все простые числа до заданного числа. Поскольку этот метод основан на идее просеивания (просеивания) составных чисел, он называется решетом Эратосфена .

Мы продемонстрируем решето Эратосфена на списке простых чисел, меньших 100, который, надеюсь, еще перед вами (рис. 2). Обведите число 2, так как оно является первым простым числом, а затем сотрите все его старшие кратные, а именно все составные четные числа. Перейдем к следующему нестертому числу, числу 3. Поскольку оно не было стерто, оно не является произведением меньших чисел, и мы можем обвести его, зная, что оно простое. Снова сотрите все его более высокие кратные. Обратите внимание, что некоторые из них, например 6, уже удалены, а другие, например 9, будет стерта сейчас. Следующее нестертое число — 5 — будет обведено кружком. Опять же, сотрите все его старшие кратные: 10, 15 и 20 уже удалены, но, например, 25 и 35 должны быть стерты сейчас. Продолжайте в том же духе. До тех пор, пока не? Попробуйте подумать, почему после прохождения 10=100 нам не нужно продолжать процесс. Все числа меньше 100, которые не были стерты, являются простыми числами и их можно смело обводить!

Рисунок 2 – Сито Эратосфена.
Составные числа зачеркнуты, а простые обведены.

Частота простых чисел

Какова частота простых чисел? Сколько примерно простых чисел находится между 1 000 000 и 1 001 000 (один миллион и один миллион плюс одна тысяча) и сколько между 1 000 000 000 и 1 000 001 000 (один миллиард и один миллиард плюс одна тысяча)? Можем ли мы оценить количество простых чисел от одного триллиона (1 000 000 000 000) до одного триллиона плюс одна тысяча?

Расчеты показывают, что простые числа становятся все более и более редкими по мере того, как числа становятся больше. Но можно ли сформулировать точную теорему, которая точно выразит, насколько они редки? Такая теорема впервые была сформулирована как гипотеза великого математика Карла Фридриха Гаусса в 1793 году, в возрасте 16 лет. разобраться с этим. Но формальное доказательство теоремы было дано лишь в 1896 г., через столетие после того, как она была сформулирована. Удивительно, но два независимых доказательства были предоставлены в том же году французом Жаком Адамаром и бельгийцем де ла Валле-Пуссен (рис. 1). Интересно отметить, что оба мужчины родились примерно во время смерти Римана. Доказанная ими теорема получила название « теорема о простых числах »из-за ее важности.

Точная формулировка теоремы о простых числах, а тем более детали ее доказательства, требуют продвинутой математики, которую мы не можем обсуждать здесь. Но, выражаясь менее точно, теорема о простых числах утверждает, что частота встречаемости простых чисел вокруг x обратно пропорциональна количеству цифр в x . В приведенном выше примере количество простых чисел в «окне» длиной 1000 около одного миллиона (под которым мы подразумеваем интервал между одним миллионом и одним миллионом и одной тысячей) будет на 50% больше, чем количество простых чисел в том же самом окне. «окно» около миллиарда (соотношение 9:6, точно так же, как соотношение между количеством нулей в одном миллиарде и одном миллионе), и примерно в два раза больше, чем количество простых чисел в том же окне около одного триллиона (где соотношение количества нулей составляет 12:6). ). Действительно, компьютерные расчеты показывают, что в первом окне 75 простых чисел, во втором — 49, а в третьем — только 37, от одного триллиона до одного триллиона плюс тысяча.

Эту же информацию можно изобразить в виде графика, показанного ниже (Рисунок 3). Вы можете видеть, как число π( x ) простых чисел до x изменяется в диапазоне x ≤ 100, и снова для x ≤ 1000. Обратите внимание, что каждый раз, когда мы встречаем новое простое число вдоль оси x , график увеличивается на 1, поэтому график принимает форму ступенек (рис. 3А). В небольшом масштабе сложно обнаружить закономерность на графике. Довольно легко доказать, что мы можем найти сколь угодно большие интервалы, в которых нет простых чисел, то есть интервалы, в которых граф не поднимается. С другой стороны, известная гипотеза (см. ниже) утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов , то есть пары простых чисел с разницей в 2 между ними, что переводило бы на «шаг» ширины 2 на графике. Однако в более крупном масштабе график выглядит гладким (рис. 3В). Эта гладкая кривая, видимая в большом масштабе, демонстрирует теорему о простых числах.

Рисунок 3 – Частота простых чисел.
Графики, показывающие π( x ), количество простых чисел до числа x . В панели А. х колеблется от 0 до 100, а график имеет ступенчатый вид. На панели B. x находится в диапазоне от 0 до 1000, поэтому масштаб больше, а график выглядит более плавным.

Тот факт, что математическое явление кажется случайным в одном масштабе, но демонстрирует регулярность (гладкость) в другом/более крупном масштабе — регулярность, которая становится все более и более точной по мере увеличения масштаба, — не нов для математики. Вероятностные системы, такие как подбрасывание монет, ведут себя именно так. Невозможно предсказать результат одного подбрасывания монеты, но со временем, если монета беспристрастна, она будет выпадать орлом в половине случаев. Что удивительно, так это то, что система простых чисел не является вероятностной, но во многих отношениях она все же ведет себя так, как если бы она была выбрана случайным образом.

Описание: Кто хочет стать миллионером?

Теория чисел, включающая изучение простых чисел, богата нерешенными проблемами, безуспешно решавшимися величайшими умами на протяжении сотен лет. Некоторые из этих открытых проблем представляют собой математические утверждения, которые еще не доказаны, но в правильность которых мы твердо верим. Такие недоказанные теоремы называются «гипотезами» или «гипотезами». Мы уже упоминали гипотезу о существовании бесконечно многих простые числа-близнецы — пары простых чисел на расстоянии двух друг от друга. Другая известная гипотеза, называемая гипотезой Гольдбаха, утверждает, что каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например: 16 = 13 + 3, 54 = 47 + 7. Если вам удастся доказать любое из них, вы обретете вечную славу. ³

Вероятно, самая известная нерешенная проблема в математике, Гипотеза Римана , была предложена тем же Бернхардом Риманом, о котором упоминалось ранее. В единственной исследовательской работе Римана о простых числах, опубликованной в 1859 г., Риман сформулировал гипотезу, которая предсказала, насколько далеко от истинного значения π ( x ) число простых чисел до x , было приближением, данным теоремой о простых числах. Другими словами, что можно сказать об «ошибочном члене» в теореме о простых числах — разнице между реальной величиной и предложенной формулой? Фонд Клэя назвал эту проблему одной из семи задач, за решение которых он выплатит приз в размере 1 000 000 долларов! Если вы до сих пор не были заинтригованы, возможно, этот приз вас мотивирует…

Почему это важно? Кого это интересует? Математики судят о своих задачах прежде всего по их сложности и внутренней красоте. Простые числа набирают высокие баллы по обоим этим критериям. Однако простые числа также полезны на практике. Исследования простых чисел нашли важное применение в шифровании (науке кодирования секретных сообщений) за последние несколько десятилетий. Ранее мы упоминали вымышленную книгу Карла Сагана о внеземной культуре, общающейся с человечеством с помощью простых чисел. Но есть гораздо более «горячая» область, вовсе не вымышленная, где простые числа используются как в гражданских, так и в военных целях; то есть зашифрованные передачи. Когда мы снимаем деньги в банкомате, мы используем дебетовую карту, и связь между нами и банкоматом зашифрована. Как и многие другие коды для шифрования, тот, что есть почти на каждой дебетовой карте, называется RSA (назван в честь его изобретателей — Ривеста, Шамира и Адлемана) и основан на свойствах простых чисел.

История простых чисел до сих пор окружена тайной. Итак, их история еще не закончена и не закончена с…

Глоссарий

Составное число : ↑ целое число, которое можно записать как произведение двух меньших чисел, например, 24 = 3 × 8.

Простое число (несоставное) : ↑ целое число, которое не может быть записано как произведение двух меньших чисел, например 7 или 23.

Математическое доказательство : ↑ ряд логических аргументов, предназначенных для доказательства истинности математической теоремы. Доказательство основано на основных предположениях, которые были проверены, или на других ранее доказанных теоремах.

Математическая теорема : ↑ утверждение, выраженное на языке математики, о котором можно определенно сказать, что оно является действительным или недействительным в определенной системе.

Математическая гипотеза : ↑ (также называемая гипотезой) — математическое утверждение, которое считается верным, но еще не доказано. «Вера в достоверность» может быть результатом проверки особых случаев, вычислительных доказательств или математической интуиции. Существуют математические гипотезы, по поводу которых люди до сих пор расходятся во мнениях.

Простые числа-близнецы : ↑ пара простых чисел с разницей в два, например 5, 7 или 41, 43.

Заявление о конфликте интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось в отсутствие любых коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Дополнительная литература

[1] ↑ Du Sautoy, M. 2003. Музыка простых чисел . ХарперКоллинз.

[2] ↑ Доксиадис, А. 1992. Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха . Блумсбери.

[3] ↑ Pomerance, C. 2004. «Простые числа и поиск внеземного разума», в «Математические приключения для студентов и любителей» , под редакцией Д. Хейса и Т. Шубина (MAA), 1–4.

[4] ↑ Сингх, С. 1999. Кодовая книга . Лондон, Четвертое сословие.

Сноски

[1] ↑ Деление круга на 360 впервые появляется в трудах греческих и египетских астрономов, но основано на более раннем делении часа на 60 минут вавилонянами. Несомненно, это также связано с тем, что солнечный год длится 365 дней (в среднем), но заметим, что 365 = 5 х 73, а поскольку и 5, и 73 простые, 365 допускает гораздо меньше факторизаций, чем 360.

[2] ↑ Правильное чтение математического текста — это «активное чтение», при котором читатель проверяет сказанное, вычисляет примеры и т. д. Но, если вы хотите пропустить предложенное задание, вы можете так, и мы вернемся к нему и обсудим это позже.

[3] ↑ Гипотеза о простых числах-близнецах стала свидетелем удивительных прорывов Чжана и Мейнарда в последние годы, но, тем не менее, до сих пор остается открытой. Что касается гипотезы Гольдбаха, Хельфготт доказал в 2014 году, что каждое нечетное число, большее 5, является суммой трех простых чисел.

Шепард / Найдено самое большое простое число

25 января в 23:30:26 UTC было найдено самое большое известное простое число.
номер 2 ^{57 885 161} -1, был обнаружен в Great Internet Mersenne
Prime Search (GIMPS) добровольно взял компьютер Кертиса Купера. Новое простое число,
Число 2, умноженное само на себя 57 885 161 раз без единицы, дает 17 425 170 цифр. С
360 000 процессоров с максимальной производительностью 150 триллионов вычислений в секунду, GIMPS 17-го года
является самым продолжительным непрерывно действующим глобальным «массовым
суперкомпьютер» ^[1] проект в истории интернета.

Доктор Купер — профессор
Университет Центрального Миссури. Это третий рекорд премьер-министра для доктора Купера.
и его университет. Их первый рекордный прайм был обнаружен в 2005 году, затмив
своим вторым рекордом в 2006 году. Компьютеры в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе побили этот рекорд в 2008 году.
с 12 978 189-значным простым числом. Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе удерживал рекорд до тех пор, пока Университет
Этим открытием Центральный Миссури установил мировой рекорд. Новый
доказательство простоты заняло 39дней безостановочных вычислений на одном из университетских
ПК. Доктор Купер и Университет Центрального Миссури являются крупнейшими
индивидуальные участники проекта. Открытие имеет право на 3000 долларов
Награда GIMPS за исследовательское открытие.

Новое простое число является членом
особый класс чрезвычайно редких простых чисел, известных как простые числа Мерсенна. это
обнаружено только 48-е известное простое число Мерсенна, каждое из которых становится все более трудным
найти. Простые числа Мерсенна были названы в честь французского монаха Марина Мерсенна, который
изучал эти цифры более 350 лет назад. GIMPS, основанная в 1996, есть
открыл все 14 крупнейших известных простых чисел Мерсенна. Волонтеры загружают
бесплатная программа для поиска этих простых чисел с денежным вознаграждением, предлагаемым любому
посчастливилось вычислить новое простое число. Крис Колдуэлл поддерживает авторитетный
веб-сайт о крупнейших известных простых числах, а также об истории простых чисел Мерсенна.

Для подтверждения отсутствия ошибок в
процесс обнаружения простого числа, новое простое число было независимо проверено с использованием
разные программы работают на разном железе. Сергей Баталов побежал Эрнст
Программное обеспечение Mayer MLucas на 32-ядерном сервере за 6 дней (ресурс предоставлен
Новартис ^[2] ИТ-группа) для проверки нового простого числа. Джерри Халлетт
проверил прайм с помощью программного обеспечения CUDAlucas, работающего на графическом процессоре NVidia в версии 3.6.
дней. Наконец, доктор Джефф Гилкрист проверил находку с помощью программного обеспечения GIMPS.
процессор Intel i7 за 4,5 дня и программу CUDAlucas на NVidia GTX 560 Ti за
7,7 дней.

Программное обеспечение GIMPS было разработано
основатель Джордж Вольтман в Орландо, Флорида. Скотт Куровски, Сан-Диего,
Калифорния, написал и поддерживает систему PrimeNet, которая координирует все
клиенты GIMPS. У волонтеров есть шанс получить награду за исследовательское открытие в размере 3000 долларов США.
или 50 000 долларов, если их компьютер обнаружит новое простое число Мерсенна. следующий мейджор GIMPS
цель состоит в том, чтобы выиграть награду в размере 150 000 долларов США, администрируемую Electronic Frontier.
Фонд предложил найти 100-миллионное простое число.

Кредит за главные открытия GIMPS
достается не только доктору Куперу за запуск программного обеспечения на
компьютеры, Уолтман и Куровски за разработку программного обеспечения и запуск
проект, но и тысячи добровольцев GIMPS, которые просеивали
миллионы не премьер-кандидатов. Таким образом, официальное признание этого открытия
следует перейти к «C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski, et al.»

О Mersenne.org
Отличный Интернет Мерсенн Прайм Поиск

Великий Интернет Мерсенн Прайм
Поиск (GIMPS) был основан в январе 1996 года Джорджем Вольтманом для обнаружения новых
рекордные для мира простые числа Мерсенна. В 1997 году Скотт Куровски позволил GIMPS
автоматически использовать мощность сотен тысяч обычных компьютеров
искать эти «иголки в стоге сена». Большинство участников GIMPS присоединяются
поиск острых ощущений от возможного обнаружения рекордного, редкого и
исторический новый Мерсенн Прайм. Поиск других простых чисел Мерсенна уже начался
в пути. Могут быть меньшие, еще не открытые простые числа Мерсенна, и там
конечно, большие простые числа Мерсенна ждут, чтобы их нашли. Любой, у кого есть
достаточно мощный ПК может присоединиться к GIMPS и стать крупным охотником за праймом, а также
возможно, заработать денежную награду за исследование. Все необходимое программное обеспечение может
можно бесплатно загрузить с сайта www.mersenne.org/freesoft.htm.
GIMPS организована как Mersenne Research, Inc., научное исследование 501(c)(3).
благотворительная деятельность. Дополнительную информацию можно найти на сайтах www.mersenneforum.org и www.mersenne.org; пожертвования приветствуются.

Для получения дополнительной информации о Mersenne
Простые числа

Простые числа давно завораживают
математики-любители и профессионалы. Целое число больше единицы называется
простое число, если его делители равны единице и самому себе. Первые простые числа
равны 2, 3, 5, 7, 11 и т. д. Например, число 10 не простое, потому что оно
делится на 2 и 5. Простое число Мерсенна — это простое число вида 2 ^P -1.
Первые простые числа Мерсенна — это 3, 7, 31 и 127, что соответствует P = 2, 3, 5,
и 7 соответственно. Всего известно 48 простых чисел Мерсенна.

Простые числа Мерсенна занимают центральное место в
теории чисел, поскольку они были впервые обсуждены Евклидом в 350 г. до н.э. Тот человек
чье имя они теперь носят, французский монах Марин Мерсенн (1588-1648), сделал
знаменитая гипотеза о том, какие значения P дадут простое число. Прошло 300 лет
и несколько важных открытий в математике, подтверждающих его гипотезу.

Предыдущий GIMPS Мерсенн простое число
открытия были сделаны членами из разных стран. В апреле 2009 года Одд
Магнар Стриндмо и др. открыл 47-е известное простое число Мерсенна в Норвегии. В
Сентябрь 2008 г., Hans-Michael Elvenich et al. открыл 46-й известный Мерсенн
Премьер в Германии. В августе 2008 г. Эдсон Смит и соавт. открыл 45-й известный
Мерсенн Прайм в США В сентябре 2006 года Кертис Купер и Стивен Бун и др.
др. открыл 44-е известное простое число Мерсенна в США. В декабре 2005 г.
Кертис Купер и Стивен Бун и др. открыл 43-е известное простое число Мерсенна
в США. В феврале 2005 г. д-р Мартин Новак и соавт. обнаружен 42-й известный
Мерсенн премьер в Германии. В мае 2004 г. Джош Финдли и др. обнаружил 41-й
известное число Мерсенна в США. В ноябре 2003 г. Майкл Шафер и соавт.
открыл 40-е известное простое число Мерсенна в США. В ноябре 2001 г. Майкл
Кэмерон и др. обнаружил 39Прайм Мерсенна в Канаде. В июне 1999 г.
Наян Хайратвала и др. открыл 38-е простое число Мерсенна в США.
Январь 1998 г., Роланд Кларксон и др. открыл 37-е простое число Мерсенна в
США. В августе 1997 г. Gordon Spence et al. открыл 36-е простое число Мерсенна в
Великобритания. В ноябре 1996 г. Джоэл Арменго и соавт. обнаружил 35-й Мерсенн
премьер во Франции.

Существует известная формула, которая
генерирует «идеальное» число из простого числа Мерсенна. Идеальное число
это тот, чьи множители складываются в само число. Самое маленькое совершенное число
равно 6 = 1 + 2 + 3. Недавно открытое совершенное число — 2·9.0073 57 885 160
х (2 ^{57 885 161} -1). Это число состоит из более чем 34 миллионов цифр!

Уникальная история
арифметические алгоритмы, лежащие в основе проекта GIMPS. Программы, которые нашли
недавние большие находки Мерсенна основаны на специальном алгоритме. В начале
1990-х, покойный Ричард Крэндалл, выдающийся научный сотрудник Apple, обнаружил
способы удвоить скорость так называемых сверток — по существу большое умножение
операции. Метод применим не только для простого поиска, но и для других
аспекты вычислений. Во время этой работы он также запатентовал Fast Elliptic.
Система шифрования, теперь принадлежащая Apple Computer, которая использует простые числа Мерсенна для
быстро шифровать и расшифровывать сообщения.