Квантовый предел информации. Квантовая математика что это

Доклад - Квантовая механика, ее интерпретация

Квантовая механика (волновая механика) — теория, которая устанавливает способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем, а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

Квантовая механика описывает законы движения микрочастиц. Однако поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, постольку квантовая механика применяется для объяснения многих макроскопических явлений. Например, квантовая механика позволила понять многие свойства твердых тел, последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звезды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звездах.

Для классической механики характерно описание частиц путем задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Опыт показал, что такое описание частиц не всегда справедливо, в частности, оно не применимо для описания микрочастиц.

Квантовая механика делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности.

Нерелятивисткая квантовая механика (как и механика Ньютона для своей области применимости) — это законченная и логически непротиворечивая фундаментальная физическая теория.

Релятивистская квантовая механика не является в такой степени завершенной и свободной от противоречий теорией.

Если в нерелятивистской области можно считать, что взаимодействие передается мгновенно на расстоянии, то в релятивистской области оно распространяется с конечной скоростью, значит, должен существовать агент, передающий взаимодействие — физическое поле. Трудности релятивистской теории — это трудности теории поля, с которыми встречается как релятивистская классическая механика, так и релятивистская квантовая механика.

Соотношение между классической и квантовой механикой определяется существованием универсальной мировой постоянной — постоянной Планка, которая называется также квантом действия и имеет размерность действия. Если в условиях данной задачи физические величины размерности действия значительно больше постоянной Планка, то применима классическая механика. Формально это условие и является критерием применимости классической механики.

Общая теория относительности — неквантовая теория. В этом отношении она подобна классической электродинамике Максвелла. Однако наиболее общие рассуждения показывают, что гравитационное поле должно подчиняться квантовым законам точно так же, как и электромагнитное поле. Применение квантовой теории к гравитации показывает, что гравитационные волны можно рассматривать как поток квантов — гравитонов.

Впервые квантовые представления были введены в 1900 году немецким физиком Планком в работе, посвященной теории теплового излучения. Существовавшая в то время теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила в противоречию. Чтобы его разрешить, Планк предположил, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классической теории излучения), а определенными дискретными порциями энергии — квантами.

Эйнштейн в 1905 году построил теорию фотоэффекта, развивая квантовые представления Планка. Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т.е.что дискретность присуща не только процессам испускания и поглощения света, но и самому свету, что свет состоит из отдельных порций — световых квантов.

Квант света, а более широко — электромагнитного излучения, называется фотоном. Этот термин ввел американский физико-химик Льюис в 1929 году.

Для создания современной картины мира важным событием оказалось то, что в 1922 году американский физик Комптон открыл эффект, в котором впервые во всей полноте проявились корпускулярные свойства электромагнитного излучения (в частности, света). Экспериментально было показано, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц.

Эффект Комптона выявил корпускулярные свойства света. Было экспериментально доказано, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц. В этом проявляется дуализм света, его корпускулярно-волновая природа.

Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений надо было считать, что свет имеет волновую природу, для объяснения других — корпускулярную. Разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ квантовой механики.

В 1913 году Бор применил идею квантов к планетарной модели атома. Эта модель на основе классических представлений приводила к парадоксу — радиус орбиты электрона должен был постоянно уменьшаться из-за излучения и электрон должен был упасть на ядро. Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что электрон испускает световые волны не постоянно, а лишь при переходе с одной орбиты, удовлетворяющей условиям квантования, на другую рождается квант света.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 году Бором условиям квантования атомных орбит, выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе, каждой частице, независимо от ее природы, надо поставить в соответствие волну, длина которой связана с импульсом частицы.

Т.е. не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в дифракции частиц.

В 1927 году в эксперименте наблюдалась дифракция электронов, а позднее- дифракция и других частиц, тем самым справедливость гипотезы де Бройля была подтверждена экспериментально.

В 1926 году австийский физик Шредингер предложил уравнение, описывающих поведение волн, соответствующих каждой частице (волн де Бройля), во внешних силовых полях. Это волновое уравнение, которое получило название уравнение Шредингера, является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики, волновой механики.

В 1928 году Дираком было сформулировано релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле. Уравнение Дирака стало одним из основных уравнений релятивистской квантовой механики.

Применение Бором квантовых идей к теории строения атома привело к построению «полуклассической» теории, которая встретилась со многими трудностями.

Модель атома Бора была построена за счет нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой — привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Теория Бора не могла объяснить, как движется электрон при переходе с одного уровня на другой.

Дальнейшая разработка воросов теории атома привела в выводу, что движение электронов в атоме нельзя описывать в терминах классической механики (как движение по определенной траектории, орбите), что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электрона в атоме. Стало ясно, что для построения модели атома необходима принципиально новая теория, которая для описания поведения электрона в атоме не оперирует понятиями ньютоновской механики. В новую теорию могли входить только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома.

Немецкий физик В.Гейзенберг в 1925 году построил формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некоторые абстрактные абстрактные величины — матрицы.

Работа Гейзенберга была развита Борном и Иорданом. Так возникла матричная механика.

Вскоре после появления уравнения Шредингера эквивалентность этих двух форм была доказана.

Окончательное формирование квантовой механики как последовательной теории связано с работой Гейзенберга 1927 года, в которой был сформулирован принцип, утверждающий, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения. Этот принцип получил название «соотношение неопределенностей».

Соотношение неопределенностей устанавливает, что понятия координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопическим объектам. Никакой эксперимент не может привести к одновременно точному измерению входящих в соотношение неопределенностей динамических переменных. При этом неопределенность в измерениях связана не с несовершенством измерительной техники, а с объективными свойствами микромира.

Завершение построения аппарата квантовой механики породило острые дискуссии в отношении интерпретации этой теории, поскольку она существенно отличается от классических теорий.

Важное отличие состоит в том, что в классических теориях описываются свойства объектов вне их отношения к тем приборам, с помощью которых обнаруживаются эти свойства, в то время как в квантовой механике учет условий наблюдения неотъемлем от самой теоретической постановки проблемы ( при этом в различных макроскопических ситуациях микроявления обнаруживают различные, порой прямо противоположные свойства, например, частицы или волны ).

Другим существенным отличием квантовой механики от классической, вызвавшим острые дискуссии, является ее принципиально вероятностный характер.

Умонастроение, характерное для классической науки, отражено в высказывании Лапласа о том, что если бы существовал ум, осведомленный в данный момент о всех силах природы в точках приложения этих сил, то «не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором».

Это умонастроение классической науки, четко выраженное Лапласом в его работе «Опыт философии теории вероятностей» (1814 год), часто и связывается с его именем, называется лапласовским детерминизмом. Безусловно, что это умонастроение не исчерпывается приведенным высказыванием Лапласа о всеведущем разуме. Оно представляет собой тонкую и глубокую систему и представлений о реальности и способах ее познания.

С позиций лапласовского детерминизма ньютоновская механика с ее однозначными законами является каноном, идеалом научного знания вообще, всякой научной теории. Любая теория с этой точки зрения должна исчерпывающим образом описывать свойства реальности на базе строго однозначных законов, как это делает механика.

Активное применение теории вероятностей в физике, которое началось с середины 19 века, привело к появлению нового типа законов и теорий — статистических.

Важно подчеркнуть, что использование вероятностно-статистических методов в науке не противоречит концепции лапласовского детерминизма. На эмпирическом уровне объекты даны в единстве существенных и несущественных, случайных свойств, поэтому использование вероятностных представлений вполне обосновано. На теоретическом уровне использование вероятностей предполагало однозначную детерминированность тех индивидуальных явлений, которые в совокупности дают статистический закон.

С позиций лапласовского детерминизма, использование вероятностных представлений в науке вполне оправдано, но познавательный статус динамических и статистических теорий существенно различен. Статистические теории с этих позиций — это неподлинные теории; они могут быть практически очень полезны, но в познавательном плане они неполноценны, они дают лишь первое приближение к истине, и за каждой статистической теорией должна стоять теория, однозначно описывающая реальность.

Одна из интерпретаций квантовой механики была построена с позиций лапласовского детерминизма.

Фактически такую интерпретацию развивали Эйнштейн, Планк, Шредингер и их сторонники, когда утверждали, что принципиально вероятностный характер квантовой механики говорит о ее неполноте как физической теории. Они ориентировали физиков на поиск такой теории микроявлений, которая по своей струкруре и характеру законов была бы подобна классической механике или классической электродинамике. В этом русле строилась программа элиминации вероятностных представлений из теории микромира путем обнаружения «скрытых параметров», т.е. таких свойств элементарных частиц, знание которых позволило бы достичь их строго однозначного описания.

Против такой интерпретации квантовой механики выступили Борн, Бриллюэн и другие, кто видел в квантовой механике полноценную и полноправную физическую теорию.

Хотя дискуссии в отношении статуса вероятностных представлений в современной физике не закончены до сих пор, тем не менее развитие квантовой механики ослабляет позиции сторонников лапласовского детерминизма.

www.ronl.ru

Поля в математике. Квантовый ум [Грань между физикой и психологией]

Поля в математике

Математики тоже используют понятие поля1. Поле чисел – это также разновидность игрового поля. Здесь действуют особые правила, простейшими из которых являются сложение и вычитание.

К примеру, рассмотрим поле ряда положительных действительных чисел, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и т.д. Когда мы прибавляем к любому числу, то все равно получаем число в ряду действительных чисел. Поэтому мы можем играть в игру сложения с действительными положительными числами, так как по-прежнему находимся на поле. Сложение и вычитание – это описания того, что мы можем делать с числовым полем. Эти правила описывают то, как числа можно соотносить друг с другом.

При сложении мы увеличиваем величину одного числа на величину другого числа; мы двигаемся дальше по ряду положительных чисел. При вычитании мы можем делать противоположную вещь, то есть уменьшать величину одного числа на величину другого числа, и двигаться по ряду числе в противоположном направлении.

Вы когда-нибудь задумывались об умножении? Это расширение процесса сложения. Например, вместо того чтобы складывать число 5 четыре раза, то есть вместо 5 + 5 + 5 + 5 = 20, умножение позволяет нам использовать сокращенный метод описания этого действия: 5 х 4 = 20. Умножение позволяет быстрее складывать одно и то же число с самим собой несколько раз.

Деление – это противоположность умножения. Деление разбивает число на части. Например, действие 20 : 4 = 5 разбивает число 20 на пять частей. Каждая часть имеет значение 4. Деление расщепляет что-либо на части, оно задает вопрос о равных частях числа.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

fil.wikireading.ru

Математика квантовой механики - это просто.

В научно-популярном изложении квантовой механики, как правило, говорится о странностях квантового мира, рассматриваемого из нашей реальности. Она происходит, оттого что мир, который дан нам в ощущениях, воспитал в нас потребность мыслить об объектах Природы либо как о частице, либо как о чём-то протяжённом (чаще всего это волна). Обычно мы полагаем, что если объект сейчас наблюдается нами как частица, то он и до этого был частицей и будет далее в любых мыслимых случаях вести себя как частица. Кантовый мир оказывается взаимосвязанным и наше представление об объекте в виде частицы зачастую оказывается неприемлемым приближением. На этом уровне Природа показывает нам, что для её описания необходимо использовать язык более фундаментальный, чем язык классической физики. Мне представляется, что таким языком может быть только математика. Такая позиция похожа на то, что говорил П. Дирак: «Заткнись и считай».

Попытки перевести математику квантовой реальности на обыденный язык есть то, что называют проблемой интерпретации. Однако, если не задаваться вопросом интерпретации и рассматривать только математику, то основные принципы квантовой механики окажутся предметом чуть ли не средней школы. Самый может быть сложный вопрос, это придать физический смысл математическим объектам, их взаимосвязям друг с другом и операциям с ними.

По сути, требуется знать только, что такое вектор и допустить, что векторами можно назвать не только то, что рисуется в школьной тетрадке, но и какие-то другие объекты. При этом, как мне представляется, наибольшую трудность составляет потеря наглядности. Если векторы в обычном пространстве (пусть даже многомерном) можно ещё представить себе, то комплекснозначные функция в гильбертовом функциональном пространстве….. это и читать то страшно. Здесь уместен принцип – тигр конечно большой и страшный, но это тоже кошка, как барсики с мурзиками. Т.е. нам не потребуется знать об этих функциях, ничего кроме того что с ними можно обращаться как с векторами и что это просто комплексные числа. Так, кстати, пока дело не касается конкретных расчётов, думают и учёные. Т.е. главное – это правила. Такой обмен ролями, когда на первое место ставятся правила, а после них уже конкретика математической природы объекта, требует некоторых способностей к абстрактному мышлению. Но и в нашей жизни тоже есть область с похожим принципом – юриспруденция. Там декларируется: «Закон превыше всего».

Так же надо иметь представление о том, что такое вероятность.

Хорошая новость для тех, кто продолжил чтение – процентов 50 математической основы квантовой механики составляет векторное исчисление. Это позволяет визуализировать теорию. Те, кто помнит, что такое вектор, базис векторного пространства и скалярное произведение могут смело пропускать их описание и переходить к операторам и разложению сложного движения на простые.

Я помню, когда у нас был болен учитель физики в 8-м классе, нам прислали молодого сотрудника из Курчатника. Он должен был объяснить нам, что такое вектор. Сначала он сказал: «Вектор это….» и замолчал. А потом продолжил: «Вектор – это вектор» и нарисовал стрелочку. Нам пока этого достаточно. Для дальнейшего потребуется система координат. Она самая что ни на есть простая. Три прямых, каждая перпендикулярна двум другим, пересекаются в одной точке. Если кому то покажется это описание не очень наглядным, то можно посмотреть в угол своей квартиры, и Вы увидите эту систему – ширина, длина, высота. Учёные не говорят так длинно, а вводят буквенные обозначения – х, y, z. Выглядит короче и удобней для общения. Расстояние принято отмерять в каких-то единицах. Т.е. надо выбирать, единицу измерения, допустим, метр (желаю всем жить в хороших квартирах и иметь возможность измерять её в метрах) и отложить его вдоль каждого направления – высоты, длины, ширины. Выбрав направление осей, и отметив на них единичные отрезки, мы построили базис. Если указать расстояние от пола и двух прилегающих друг другу стен, то это будут координаты точки в выбранном базисе. Векторы у нас будут начинаться из начала координат, поэтому, координаты конечной точки назовём координатами вектора.

Далее будет проще рассказывать, ввести понятие линейной комбинации. Пусть у нас есть три яблока, четыре груши и пять слив (насколько я помню, они все считаются фруктами). Линейной комбинацией этих фруктов будет называться такой фруктовый набор: три яблока + четыре груши + пять слив. Не смотря на такую обыденность сказанное, представляет некий не самый низкий уровень абстрактного мышления. Каждое из слагаемых является множеством фруктов и их сумма тоже множество фруктов. Мы взяли объекты одной природы «множество фруктов» и определили такую операцию между ними, чтобы она ставила им в соответствие объект той же природы. Заменим «множество фруктов» на слово «вектор» и смысл сказанного не поменяется, но станет строкой из курса математики. Т.к. яблоко не может быть грушей или сливой, то можно считать яблоко «базисным вектором» фруктового набора. Так же и с грушей и сливой. Любая чаша, наполненная этими фруктами, состоит из «базисных фруктов – векторов». Числа три, четыре, пять, называют координатами фруктовой чаши в базисе из яблока груши и сливы. Понятно, что, как и наш фруктовый набор, любой вектор может быть разложен по базисным векторам.

Переходя от фруктов к более абстрактным понятиям, замечу, что базисом может называться совокупность векторов, число которых точно равно размерности пространства, и каждый из которых нельзя представить как линейную комбинацию других. Это легко понять на примере нашего трёхмерного пространства. Какие бы вектора мы не рисовали на плоскости пола, их сумма будет лежать в той же плоскости. Значит, вектор направленный перпендикулярно полу не может получиться сложением векторов плоскости. Очевидно, что для того чтобы получить ЛЮБОЙ вектор трёхмерного пространства надо иметь три взаимно перпендикулярных вектора. Если они уже заданы, то любой другой уже не будет перпендикулярным ко всем трём, и его можно получить линейной комбинацией трёх уже имеющихся. Так что в 3-х мерном пространстве «соображать» можно не более чем на троих, а лучше вообще на троих! Взаимно перпендикулярных троек векторов, т.е. базисов в нашем пространстве может быть бесконечно много. Так же и в многомерном пространстве – в нём существует бесконечно много ортогональных базисов.

Если на этом месте Вы устали (скорее всего из-за того что я наверное путанно это объяснил) то могу Вас обрадовать – Вы знаете 30% от математики квантовой механики. И как видите, она не выходит за рамки школьного курса.

Если базисов много, то интуитивно ясно, что из одного из них можно получать любой другой. Как то повернуть, ещё растянуть какие-то оси, вдобавок отразить в какой- то плоскости (т.е. в зеркале). Хотя все эти преобразования имеют физический смысл, для понимания дальнейшего нам не нужно их разнообразие, достаточно оставить только повороты. Это потому что поворот базиса сохраняет длину вектора. Длина вектора получается так: сумма квадратов его координат и квадратный корень из всего этого. Например, вектор имеет координаты 3 и 4, тогда 3*3+4*4=9+16=25 и квадратный корень из 25 будет 5. Получается, длина такого вектора будет равна 5. Другая причина состоит в том, что перейти от одного базиса к другому можно малыми поворотами. Представление большого преобразования как последовательности очень маленьких - кэто вообще любимый приём физиков теоретиков. Иногда он мне кажется даже жульничеством (что, конечно не так. Но бывают ситуации, когда этот номер «не прокатывает», тогда у них большие проблемы. Они останавливаются, долго думают и изобретают что-то интересное и полезное не только для этого случая).

Если преобразуется базис, то преобразуются координаты вектора. Как связаны эти два преобразования? Однозначно (любимое слово известного политика). Зная как меняется базис, можно вычислить, как меняются координаты. Определение, которое дают математики вектору вообще такое – вектор это упорядоченный набор чисел, который при преобразовании базиса преобразуется таким то образом (запоминать определение математиков не обязательно, но полезно. Эти парни просто так ничего не делают).

Мы знаем теперь порядка 50% математики квантовой механики. Грех останавливаться, поэтому продолжим. Когда в школе изучали вектора, то там вводили такую вещь как скалярное произведение. Оно очень сильно обогащает пространство векторов и позволяет из них получать числа. Скалярным произведением называется некоторое число, которое по определённым правилам ставится в соответствие двум векторам. Эти правила просты

- скалярному произведению вектора на себя ставится в соответствии число равное квадрату его длины.

- скалярное произведение суммы векторов, с каким-то другим вектором есть сумма скалярных произведений каждого из векторов на этот другой вектор. Сказано нескладно, поэтому проще написать в обозначениях. Скалярное произведение обычно записывают так (a,b)=c. А правило гласит (a+b,c)= (a,c)+(b,c). Конечно, второй вектор может быть представлен тоже суммой.

Одна из «фишек» скалярного произведения состоит в том, что для векторов в обычном пространстве перпендикулярность означает равенство нулю их скалярного произведения. Это в дальнейшем очень сильно нам пригодится, и будет иметь серьёзный физический смысл.

Мы теперь знаем процентов 75 нужной математики. И это всё не «выходя» из школы. Но остались самые трудные понятия. Первое из них оператор.

Как следует из слова «оператор», он чего то делает. Записывается это так: Lx=y. Т.е. оператор переводит начальный вектор в какой то другой. Нам не надо заботиться сейчас конкретикой как он это делает. С оператором связано такое свойство как некоммутативность. Что это такое? Представьте, что Вы одеваетесь. Сначала рубашку, потом пиджак. В такой последовательности. Но представьте себе, что Вы изменили порядок. Или вот сначала носки потом ботинки. Если поменять порядок - ботинки потом носки, то выйдет совсем какая то ерунда. Это и есть некоммутативность. Но если Вы сначала одели носки, а потом рубашку, то можно смело менять порядок одевания, результат не изменится (бывают, конечно, перфекционисты, которые и тут посчитают порядок важным). Простота математики квантовой механики состоит в том, что значение имеют самые простые из возможных операторов - линейные операторы. Если такой оператор действуют на сумму векторов, то результат будет суммой его действия на каждый из векторов. Проще понять сказанное, если записать в обозначениях. Обозначим оператор буквой L, а вектора х и y. Тогда сказанное можно записать L(x+y) = Lx+Ly.

Важную роль в квантовой механике играют такие вектора, чтобы какие-нибудь операторы только «растягивали» их. Записывается это так Lx=аx, где «а» какое-то действительное число. Некоторые могут задаться вопросом: «А почему только действительное, а куда комплексные дели?» Потому что в квантовой механике операторы, у которых «а» действительное число играют особую роль. Забегая вперёд скажу – только эти числа могут быть значениями, которые принимает физическая величина при измерениях. А при измерении мы можем получить только действительные значения.

То что «а» действительное число накладывает ограничения на то, каким должен быть оператор. Математики называют их Эрмитовыми (поэтому у меня они ассоциировались с термитами. Уже неплохо обращаясь с ними в институте, я узнал про математика Шарля Эрмита). Вектор который удовлетворяет уравнению Lx=аx называется собственным, а число «а» собственным значением которому принадлежит вектор х. Если сложно запоминать эту иерархию, то могу, предложит такую аналогию – оператор это главнокомандующий. Его дивизии это собственные числа, а каждой дивизии приданы её собственные вектора. Приходит другой главком всё перетасовывается, но принцип остаётся прежним.

Эрмитовы операторы замечательны тем, из его собственных векторов всегда можно соорудить ортогональный базис. Во-первых, векторы, принадлежащие различным числам, оказываются ортогональными друг другу. Ну а если вдруг два и более вектора принадлежат одному собственному числу (в таком случае говорят, что собственное число вырождено), то хотя они не обязаны быть ортогональны друг другу, смастерить из них систему взаимно ортогональных векторов могут даже студенты первого курса: там только арифметические действия.

То, что операторы могут действовать на вектор последовательно, называется их произведением: LF(x) означает что сначала оператор F действует на вектор х, а потом оператор L на то что получилось - LF(x) = L (Fx). Выше уже говорилось что LF(x) не всегда равно FL (x).

Если, не смотря на предупреждение о том, что операторы один из самых трудных моментов для людей далёких от математики, Вы дочитали до этого места, то могу Вас обрадовать - Вы знаете 90% от того что надо знать про неё.

В остальные 10% входит понятие комплексного числа и разложение любого периодического движения на простые гармонически колебания. Эти понятия не сложны, но они, как и операторы выходят за рамки школьной программы.

Комплексное число можно представлять себе как вектор, на плоскости начинающийся из начала координат. Его можно записать в виде z=x+iy, где x координата по горизонтали, а y – координата по вертикали, i– так называемая мнимая единица. У неё, кстати, интересная история, но сейчас не об этом. Она замечательна тем, что её квадрат отрицателен. Числа, с которыми мы сталкиваемся в повседневности таковы, что их квадрат всегда положителен 2*2=4, (-5)*(-5) = 25 и так далее. Их называют действительными (или ещё вещественными). Т.к. квадрат действительного числа положителен, то нельзя извлечь корень из отрицательного действительного числа. Но если очень хочется то можно! Для этого люди придумали мнимую единицу. Если из (-1) извлечь квадратный корень, то получится мнимая единица i. Комплексное число можно представить и в другом виде. Из визуального образа ясно, что оно характеризуется длиной (модулем) и направлением, т.е. углом который вектор образует с одной из осей. Принято отсчитывать этот угол против часовой стрелки от горизонтальной оси. Такая форма представления называется экспоненциальной. Это название она получила, потому что в нём модуль числа умножается на число e =2,71… в мнимой степени - на мнимую экспоненту. Е действительно серьёзная штучка (посерьёзней чем Ё). Тем, кто умеет с ней обращаться становится легче жить в расчётах. Нам от неё надо только лишь то, что она может принимать отрицательные значения и её модуль (длина) всегда равна единице. Угол, отсчитываемый от горизонтали, называют фазой, а саму комплексную экспоненту фазовым множителем. При умножении экспонент их фазы складываются. Ничего более нам про мнимые экспоненты знать не надо. С комплексными числами можно делать всё то же самое и так же как с обычными действительными числами.

Рассказ про разложение сложного периодического движения по простым гармоническим я бы начал с того что попросил бы вспомнить о том что вначале говорилось о векторах. А именно, смысл вектора может иметь не только направленный отрезок в привычном нам пространстве. Следующим шагом будет мысль, что сложное периодическое движение это вектор, в каком то функциональном пространстве. Дальше совсем легко. Любой вектор можно разложить по ортогональным векторам. И вот эти ортогональные вектора и есть простые гармонические колебания. Или возьмём известный пример, когда солдаты на мосту идут не в ногу. У моста есть собственные частоты, и если солдаты идут в ногу, то частота их шага может совпасть с частотой собственного колебания моста, отчего он может разрушиться. Ещё пример – настройка инструмента. Мы ставим камертон известной частоты и начинаем изменять длину струны. От этого меняется её собственная частота и когда она становиться такой же, как у камертона он начинает звучать, хотя его не трогали. Танцующий мост. Когда дул ветер, то его постоянный напор можно разложить на простые гармонические колебания. И одно из них попало в резонанс с собственным колебанием моста. Если мы ударим молотком по какому-нибудь предмету, то оно будет как-то вибрировать, и это движение можно разложить на простые колебания этого тела как целого. Такие колебания называют собственными. Эта общность названия с собственными векторами операторов совершенно не случайна.

Можно считать этот материал полётом кондора на большой высоте над математикой квантовой механики, когда видны только крупные черты. И было бы неплохо получить награду за это – увидеть, как эта математика переходит в физику.

Чтобы продолжить далее соберём в одном месте, что нам видно с «высоты птичьего полёта».

- мы будем работать с векторами, т.е. с объектами которые подчиняются той же алгебре что и обычные векторы знакомые нам со школы. Их можно складывать, умножать на числа, из них можно образовывать скалярное произведение (правда, оно имеет некоторые отличия от обычного «школьного», но это сейчас не существенно)

- в нашем пространстве на вектора действуют линейные Эрмитовы операторы. Они выделяют в пространстве системы взаимно ортогональных векторов, каждый из которых растягивается этим оператором. Степень растяжения называется собственным числом оператора, которому принадлежат растягиваемые вектора. Если число «присвоило» себе несколько векторов (оператор растягивает такие вектора одинаково), то такие вектора могут быть неортогональны друг другу. Однако из них можно построить систему взаимно ортогональных векторов. Поэтому из собственных векторов Эрмитова оператора всегда можно сконструировать ортогональный базис пространства

- собственные числа Эрмитова оператора всегда действительны. И тут мы видим жизнь – показания приборов тоже действительны.

- умножения операторов не обязано быть коммутативным (носки потом ботинки не совсем то же самое что ботинки потом носки). Здесь мы подозреваем, нас ожидает что - то интересное.

maxpark.com

Квантовый предел информации

Один из основоположников квантовой теории информации член-корреспондент РАН Александр Холево считает, что мы, возможно, приблизились к границам познания

Квантовый компьютер — одна из самых обсуждаемых тем науки. К сожалению, пока дальше отдельных экспериментов, которые ведутся во многих странах мира, включая Россию, дело не пошло, хотя результаты их многообещающие.

Параллельно, но с существенно большим успехом, идет создание систем квантовой криптографии. Такие системы уже находятся на стадии опытной реализации.

В основе самой идеи о возможности создания квантового компьютера и систем квантовой криптографии лежит квантовая теория информации. Один из ее основоположников — Александр Холево, российский математик, член-корреспондент РАН, заведующий отделом теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В 2016 году он получил Премию Шеннона, самую престижную в области теории информации, которую присуждает Институт инженеров электротехники и электроники — IEEE. Еще в 1973 году Холево сформулировал и доказал теорему, получившую его имя и легшую в основу квантовой криптографии: она устанавливает верхний предел количества информации, которое может быть извлечено из квантовых состояний.

Александр Холево — автор 170 научных работ и пяти монографий.

— Вы сформулировали свою наиболее известную теорему в 1973 году. Насколько я помню, в общественном пространстве не звучало тогда таких слов, как квантовая теория информации. Почему вы ею заинтересовались?

— Действительно, тогда, да и потом еще некоторое время, в общественном пространстве она не звучала, но в научной литературе именно тогда, в 1960-х — начале 1970-х годов, стали появляться публикации, посвященные вопросу, какие фундаментальные ограничения налагает квантовая природа носителя информации (например, поля излучения лазера) на ее передачу. Вопрос о фундаментальных ограничениях возник неслучайно, почти сразу после создания Клодом Шенноном основ теории информации. Кстати, в 2016 году исполнилось сто лет со дня его рождения, а его знаменитая работа по теории информации появилась в 1948 году. И уже в 1950-е годы специалисты начали задумываться о квантовых ограничениях. Одной из первых была статья Дениса Габора (который получил Нобелевскую премию за изобретение голографии). Он поставил такой вопрос: какие принципиальные ограничения квантовая природа электромагнитного поля накладывает на передачу и воспроизведение информации? Ведь электромагнитное поле — это основной носитель информации: в виде света, радиоволн или на других частотах.

Если есть канал связи, который рассматривается как квантовый, то шенноновское количество классической информации, которое может передаваться по такому каналу, ограничено сверху некой совершенно конкретной величиной

После этого стали появляться физические работы на эту тему. Тогда это называлось не квантовой теорией информации, а Quantum Communication, то есть квантовой теорией передачи сообщений. Из отечественных ученых, уже тогда заинтересовавшихся этой проблематикой, я бы назвал Руслана Леонтьевича Стратоновича. Это был крупный специалист по статистической термодинамике, который писал и на эти темы.

В конце 1960-х я защитил кандидатскую диссертацию по математической статистике случайных процессов, стал думать, что делать дальше, и наткнулся на работы по этой проблематике. Я увидел, что это огромное поле деятельности, если, с одной стороны, подойти к этим задачам с точки зрения математических основ квантовой теории, а с другой — использовать то, что я знаю о математической статистике. Этот синтез оказался весьма плодотворным.

Суть теоремы, доказанной мною в 1973 году, состоит в следующем: если есть канал связи, который рассматривается как квантовый, то шенноновское количество классической информации, которое может передаваться по такому каналу, ограничено сверху некой совершенно конкретной величиной — ее потом стали называть χ-количество (хи-количество). По существу, все каналы связи являются квантовыми, только в большинстве случаев их «квантовостью» можно пренебречь. Но если температура шума в канале очень низкая или сигнал очень слабый (например, сигнал от удаленной звезды или гравитационная волна), то появляется необходимость учитывать квантово-механические погрешности, возникающие из-за наличия квантового шума.

— Ограничено сверху, то есть речь идет о максимальном объеме передаваемой информации?

— Да, о максимальном количестве информации. Я занялся этим вопросом потому, что это была, по существу, математическая задача. О существовании такого неравенства физики догадывались, оно было сформулировано в качестве предположения и фигурировало в таком качестве не меньше десятка лет, а может, и больше. Противоречащих примеров найти не удавалось, а доказательство не получалось, я и решил этим заняться. Первым делом предположение надо было сформулировать математически, чтобы действительно доказать его как теорему. После этого прошла еще пара лет, пока как-то в метро мне не пришло озарение. В результате получилось это неравенство. А в 1996 году мне удалось показать, что эта верхняя граница достижима в пределе очень длинных сообщений, то есть она дает пропускную способность канала.

Важно, что эта верхняя граница для информации не зависит от того, каким способом меряется выход. Эта граница, в частности, нашла важные применения в квантовой криптографии. Если есть секретный канал связи и некий злоумышленник пытается его подслушать (такого злоумышленника обычно называют Евой от англ. eavesdropper — подслушивающий), то неизвестно, каким способом Ева подслушивает. Но то количество информации, которое она все-таки ухитряется украсть, ограничено сверху этой абсолютной величиной, не зависящей от способа измерения. Знание этой величины используется для усиления секретности передачи.

— Информация может пониматься как с математической, так и с физической точки зрения. Чем они отличаются?

— В математической теории информации речь идет не о ее содержании, а о количестве. И с этой точки зрения способ физической реализации информации безразличен. Идет ли речь об изображении, музыке, тексте. Существенно лишь то, сколько памяти занимает эта информация в цифровом виде. И как ее можно закодировать наилучшим образом, обычно в двоичной форме, потому что для классической информации это наиболее удобный способ цифрового представления. Количество такой информации измеряется в двоичных единицах — битах. Если информация унифицирована таким образом, то это открывает возможности для единого подхода, не зависящего от природы носителя информации, пока мы рассматриваем только «классические» носители.

Отличительное свойство квантовой информации — невозможность ее «клонирования». Другими словами, законы квантовой механики запрещают «квантовый ксерокс». Это, в частности, делает квантовую информацию подходящим средством для передачи секретных данных

Однако переход к квантовым носителям — фотонам, электронам, атомам — открывает принципиально новые возможности, и в этом состоит один из главных посылов квантовой теории информации. Возникает новый вид информации — квантовая информация, единицей измерения которой является квантовый бит — кубит. В этом смысле «информация физична», как говорил один из отцов-основателей квантовой теории информации Рольф Ландауэр. Отличительное свойство квантовой информации —невозможность ее «клонирования». Другими словами, законы квантовой механики запрещают «квантовый ксерокс». Это, в частности, делает квантовую информацию подходящим средством для передачи секретных данных.

Надо сказать, что наш соотечественник Владимир Александрович Котельников сказал свое слово в теории информации раньше Шеннона. Он еще в 1933 году в «Материалах к первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции связи» опубликовал знаменитую «теорему отсчетов». Значение этой теоремы в том, что она позволяет непрерывную информацию, аналоговый сигнал перевести в дискретную форму (отсчеты). У нас работы в этой области были обставлены большой секретностью, поэтому такого резонанса, как работы Шеннона, работы Котельникова не получили, а на Западе вообще до некоторого момента были неизвестны. Но в конце 1990-х Институт инженеров электротехники и электроники, IEEE, присудил Котельникову высшую награду — медаль имени А. Г. Белла, а немецкий Фонд Эдуарда Рейна — премию за фундаментальные исследования, а именно за теорему отсчетов.

— А почему-то о Котельникове так мало вспоминали даже у нас…

— Его работы были засекречены. В частности, Котельников очень много сделал в области правительственной связи, дальней космической связи. Между прочим, Владимир Александрович интересовался и вопросами интерпретации квантовой механики, у него есть работы на эту тему.

Шеннон прославился своей статьей 1948 года по теории информации. Но первая его знаменитая работа, посвященная использованию алгебры логики и булевых функций, то есть функций двоичных переменных для анализа и синтеза электрических схем (релейных, переключательных схем), была написана еще в 1937 году, когда он был студентом Массачусетского технологического института. Иногда ее называют самой выдающейся дипломной работой двадцатого столетия.

Это была революционная идея, которая, однако, в то время витала в воздухе. И в этом у Шеннона был предшественник, советский физик Виктор Шестаков. Он работал на физфаке МГУ и предложил применение двоичной и более общей многозначной логики для анализа и синтеза электрических схем еще в 1934 году. Он тогда защитился, но не сразу опубликовал свои исследования, так как считалось, что важно получить результат, а публикация может подождать. В общем, он опубликовал свои работы только в 1941 году, уже после Шеннона.

— Интересно, что в то время, в 1940–1950-е годы, так удачно получилось: все, что позволило развивать теорию информации и обеспечить ее техническую реализацию, появилось почти одновременно.

— Действительно, в конце войны появились электронно-вычислительные машины. Потом почти одновременно с публикацией статьи Шеннона изобрели транзистор. Если бы не это открытие и если бы технологический прогресс затормозился в этом отношении, то идеи теории информации еще долго не находили бы применения, потому что реализовать их на огромных шкафах с радиолампами, которые нагревались и требовали Ниагару для своего охлаждения, было затруднительно. Все совпало. Можно сказать, что эти идеи возникли очень своевременно.

Александр Холево: «Действительность все время ставит нас перед лицом того факта, что наука может очень многое, но все же не всемогуща»

Фотография: Дмитрий Лыков

Шеннон получил диплом математика и одновременно диплом инженера-электрика. Он знал математику настолько, насколько нужно инженеру, и при этом у него была потрясающая инженерно-математическая интуиция. Значение работ Шеннона для математики было осознано в Советском Союзе Андреем Колмогоровым и его школой, в то время как некоторые западные математики относились к работам Шеннона достаточно высокомерно. Критиковали за то, что он нестрого пишет, что у него какие-то математические огрехи, хотя по большому счету у него серьезных огрехов не было, зато интуиция была совершенно безошибочной. Если он что-то утверждал, то обычно не выписывал общие условия, при которых это верно, но профессиональный математик, потрудившись, мог всегда найти точные формулировки и доказательства, при которых соответствующий результат будет строгим. Как правило, это были очень новые и глубокие идеи, имевшие глобальные последствия. В этом отношении его даже сравнивают с Ньютоном и Эйнштейном. Так были заложены теоретические основы для информационной эры, которая началась в середине двадцатого века.

— В своих работах вы пишете о связи таких свойств квантового мира, как «дополнительность» и «сцепленность» с информацией. Поясните это, пожалуйста.

— Это два основных, принципиальных свойства, которые отличают квантовый мир от классического. Дополнительность в квантовой механике состоит в том, что имеются некоторые аспекты квантово-механического явления или объекта, которые оба относятся к этому объекту, но не могут быть одновременно точно зафиксированы. Например, если фокусируется положение квантовой частицы, то импульс размывается, и наоборот. И это не только координаты и импульс. Как указал Нильс Бор, дополнительность — это свойство не только квантово-механических систем, оно проявляется и в биологических, и в социальных системах. В 1961 году в переводе на русский язык вышел замечательный сборник статей Бора «Атомная физика и человеческое познание». Там говорится, например, о дополнительности между размышлением и действием, при этом размышление является аналогом положения, а действие — аналогом импульса. Мы прекрасно знаем, что есть люди действия, есть люди размышления, и это трудно совместить в одной персоне. Существуют какие-то фундаментальные пределы, которые не позволяют совместить эти свойства. Математически дополнительность выражается в том, что для описания квантовых величин используются неперестановочные объекты, матрицы или операторы. Результат их умножения зависит от порядка сомножителей. Если мы измерим сначала одну величину, затем другую, а потом сделаем это в противоположном порядке, то получим разные результаты. Это есть следствие дополнительности, и ничего подобного в классическом описании мира не существует, если понимать под этим, скажем, теорию вероятностей Колмогорова. В ней, в каком порядке ни измерялись бы случайные величины, у них будет одно и то же совместное распределение. Математически это является следствием того, что случайные величины представляются не матрицами, а функциями, которые перестановочны в смысле умножения.

— Как это сказывается на теории информации?

— Важнейшее следствие дополнительности состоит в том, что если вы измеряете одну величину, то возмущаете дополнительную к ней. Это работает, например, в квантовой криптографии. Если в канале связи было несанкционированное вмешательство, оно обязательно должно себя проявить. На этом принципе…

— Построена защищенность информации?

— Да, один из «квантовых» способов защиты информации опирается именно на свойство дополнительности.

Второй способ использует «сцепленность» (запутанность). Сцепленность — это другое фундаментальное свойство квантовых систем, которое не имеет классических аналогов. Оно относится к составным системам. Если дополнительность проявляется и для одиночной системы, то свойство сцепленности говорит о связи между частями составной системы. Эти части могут быть пространственно разнесены, но если они находятся в сцепленном квантовом состоянии, то между их внутренними свойствами возникает некая таинственная связь, так называемая квантовая псевдотелепатия. Измеряя одну подсистему, можно как-то повлиять на другую, причем моментально, но повлиять очень тонким образом. Мера такой сцепленности определяется корреляцией Эйнштейна—Подольского—Розена. Она сильнее, чем любая классическая корреляция, но не противоречит теории относительности, которая запрещает передачу информации со скоростью, большей скорости света. Информацию передавать нельзя, а уловить эту корреляцию можно, и ее можно использовать. Второй класс криптографических протоколов как раз основан на создании и использовании сцепленности между участниками этого протокола.

— Если кто-то вмешивается, то из-за сцепленности можно узнать об этом?

— Если вмешиваемся в одно, другое неизбежно это чувствует.

— Сцепленность — это, наверное, передача чего-то. Любая передача происходит через что-то. Каков механизм сцепленности?

— Я бы не стал говорить про механизм сцепленности. Это свойство квантово-механического описания. Если вы принимаете это описание, то сцепленность вытекает из него. Как обычно передается взаимодействие? С помощью каких-то частиц. В данном случае нет таких частиц.

Но существуют эксперименты, которые подтверждают существование этого свойства. В 1960-х ирландский физик Джон Белл вывел важное неравенство, которое позволяет экспериментально определить, существует ли квантовая сцепленность на больших расстояниях. Такие опыты были проведены, и наличие сцепленности было подтверждено экспериментально.

Если вы хотите создать непротиворечивую систему аксиом для достаточно содержательной математической теории, то она всегда будет неполна в том смысле, что в ней найдется предложение, истинность или ложность которого недоказуемы

Явление сцепленности действительно очень контринтуитивно. Его квантово-механическое объяснение не принималось некоторыми выдающимися физиками, например Эйнштейном, Де Бройлем, Шредингером… Они не принимали вероятностную интерпретацию квантовой механики, с которой связано и явление сцепленности, и считали, что должна существовать некая «более глубокая» теория, которая позволит описать результаты квантово-механических экспериментов, в частности наличие сцепленности «реалистически», как, скажем, классическая теория поля описывает электромагнитные явления.

Тогда можно было бы гармонично сочетать это свойство с теорией относительности и даже с общей теорией относительности. В настоящее время это, пожалуй, наиболее глубокая проблема теоретической физики: как квантовую механику согласовать с требованиями общей теории относительности. Квантовая теория поля согласуется со специальной теорией относительности ценой того, что делаются поправки (перенормировки) типа вычитания «бесконечной константы». Полностью математически непротиворечивой единой теории до сих пор не существует, попытки ее построить пока что упираются в тупик. Две фундаментальные теории, которые возникли в начале двадцатого века: квантовая теория и теория относительности, — до сих пор полностью не сведены воедино.

— Мышление тоже форма обработка информации. Какова связь мышления и теории информации?

— В 2015 году отмечали двухсотлетие Джорджа Буля. Это ирландский математик, который открыл исчисление функций двоичных переменных, а также алгебру логики. Он предложил придавать значение «0» ложному высказыванию, значение «1» истинному высказыванию и показал, что законы логики прекрасно описываются соответствующей алгеброй логики. Надо сказать, что импульсом для этого открытия послужило именно его желание разобраться в законах человеческого мышления. Как пишут в его биографиях, когда он был молодым человеком, его посетило мистическое откровение и он почувствовал, что должен заняться раскрытием законов человеческого мышления. Он написал две важные книги, которые в то время не были по-настоящему востребованы. Его открытия нашли широкие применения только в двадцатом веке.

— В известном смысле алгебра логики, собственно, и демонстрирует связь мышления и математики?

— Можно сказать и так. Но, если говорить о связи мышления и математики, то в двадцатом веке наиболее впечатляющим достижением, говорящем о каких-то глубоких внутренних противоречиях или парадоксах, которые заложены в законах человеческого мышления, были работы Курта Гёделя, которые поставили крест на утопической и чересчур оптимистической идее Давида Гильберта аксиоматизировать всю математику. Из результатов Гёделя, в частности, следует, что такая цель в принципе недостижима. Если вы хотите создать непротиворечивую систему аксиом для какой-то достаточно содержательной математической теории, то она всегда будет неполна в том смысле, что в ней найдется предложение, истинность или ложность которого недоказуемы. В этом усматривается некоторая отдаленная параллель с принципом дополнительности в квантовой теории, которая также говорит о несовместимости некоторых свойств. Полнота и непротиворечивость оказываются взаимно дополнительными свойствами. Если эту параллель провести дальше, то можно прийти к мысли, которая, может быть, для современной науки покажется крамольной: познание имеет границы. «Смирись, гордый человек», — как сказал Федор Михайлович Достоевский. Электрон, конечно, неисчерпаем, но познание имеет границы в силу конечности того мыслительного аппарата, которым обладает человек. Да, мы еще далеко не полностью знаем все возможности, но уже где-то, в каких-то аспектах, по-видимому, приближаемся к границам. Возможно, поэтому столь сложной оказывается и проблема создания масштабируемого квантового компьютера.

Электрон, конечно, неисчерпаем, но познание имеет границы в силу конечности того мыслительного аппарата, которым обладает человек. Да, мы еще далеко не полностью знаем все возможности, но уже где-то, в каких-то аспектах, по-видимому, приближаемся к границам

— Может быть, дело в том, что не просто не хватает возможностей человеческого мышления, а что мир как таковой устроен настолько внутренне противоречиво, что его нельзя познать?

— Это может показать только будущее. В каком-то смысле так, и это хорошо видно на примере общественной жизни: сколько было попыток построить гармоничное общество, и, хотя они приводили к новому развитию — к сожалению, с огромными усилиями и жертвами, — гармоничное общество так и не было создано. Это внутреннее противоречие, конечно, присутствует в нашем мире. Впрочем, как учит диалектика, противоречия, отрицание отрицания — это источник развития. Между прочим, определенная диалектичность присутствует и в квантовой теории.

Конечно, то, что я сейчас говорю, противоречит существующему историческому оптимизму, грубо говоря, что можно построить «теорию всего» и все объяснить.

— Людвиг Фаддеев, как он говорил в интервью мне, сторонник той точки зрения, что рано или поздно такая теория возникнет.

— Такая точка зрения, вероятно, основана на экстраполяции идей Века Просвещения, кульминацией которых стал небывалый научно-технический рывок двадцатого века. Но действительность все время ставит нас перед лицом того факта, что наука может очень многое, но все же не всемогуща. Ситуация, когда разные фрагменты реальности успешно описываются различными математическими моделями, лишь в принципе согласующимися в пограничных режимах, может быть заложена в самой природе вещей.

— Вы упомянули о квантовом компьютере. А ведь его идея родилась на основе квантовой теории информации…

— Идея об эффективных квантовых вычислениях высказывалась Юрием Ивановичем Маниным в 1980 году. Ричард Фейнман написал в 1984 году статью, в которой задался вопросом: поскольку моделирование сложных квантовых систем, например достаточно больших молекул, занимает все больше места и времени на обычных компьютерах, нельзя ли использовать квантовые системы для моделирования квантовых же систем?

— Исходя из того, что сложность квантовой системы адекватна сложности задачи?

— Приблизительно так. Затем появились идеи квантовой криптографии, а идея квантового компьютера наиболее громко прозвучала после того, как Питер Шор предложил алгоритм разложения на множители большого составного натурального числа, основанный на идее квантового параллелизма. Почему это вызывало такой резонанс? Предположение о сложности решения подобной задачи лежит в основе современных систем шифрования с открытым ключом 1, которые широко используются, в частности, в интернете. Такая сложность не позволяет, даже имея суперкомпьютер, взломать шифр за сколько-нибудь обозримое время. В то же время алгоритм Шора позволяет решить эту задачу за приемлемое время (порядка нескольких суток). Этим как бы создавалась потенциальная угроза для всей системы интернета и всего, что использует такие системы шифрования. С другой стороны, было показано, что методы квантовой криптографии не поддаются взлому даже с помощью квантового компьютера, то есть они являются физически защищенными.

Еще одно важное открытие состояло в том, что можно предложить квантовые коды, исправляющие ошибки, как в классической теории информации. Почему так высококачественно хранится цифровая информация? Потому что есть коды, которые исправляют ошибки. Вы можете поцарапать компакт-диск, и все равно он будет воспроизводить запись правильно, без искажений, благодаря таким корректирующим кодам.

Аналогичная, но значительно более изощренная конструкция была предложена и для квантовых устройств. Более того, теоретически доказано, что если вероятность сбоев не превосходит некоторого порога, то можно практически любую схему, которая выполняет квантовые вычисления, сделать устойчивой к ошибкам путем добавления специальных блоков, занимающихся не только исправлением, но и внутренней безопасностью.

Не исключено, что наиболее перспективный путь — создание не большого квантового процессора, а гибридного устройства, в котором несколько кубитов взаимодействуют с классическим компьютером

Когда экспериментаторы начали работать над воплощением идей квантовой информатики, стали ясны трудности на пути их осуществления. Квантовый компьютер должен состоять из большого числа кубитов — квантовых ячеек памяти и квантовых логических процессоров, которые осуществляют операции над ними. Наш физик Алексей Устинов в 2015 году реализовал сверхпроводящий квантовый кубит. Сейчас есть схемы из десятков кубитов. Google обещает в 2017 году построить вычислительное устройство из 50 кубитов. На данном этапе важно, что физики успешно осваивают новаторские экспериментальные методы, которые позволяют «измерять и целенаправленно манипулировать индивидуальными квантовыми системами» (Нобелевская премия по физике 2012 года). В этом же направлении движутся и химики, создающие молекулярные машины (Нобелевская премия по химии 2016 года).

Практическое осуществления квантовых вычислений и других идей квантовой информатики — перспективная задача. Идет постоянная упорная работа физиков, экспериментаторов. Но пока не произошло технологического прорыва, подобного изобретению транзистора, нет квантовых технологий, которые воспроизводились бы массово и относительно дешево, подобно производству интегральных схем. Если для изготовления классического персонального компьютера можно было покупать детали в магазине и паять электронные схемы в гараже, то с квантовым так не получится.

Не исключено, что наиболее перспективный путь — создание не большого квантового процессора, а гибридного устройства, в котором нескольких кубитов взаимодействуют с классическим компьютером.

Возможно, человеческий мозг представляет собой подобный гибридный компьютер. В популярной книге английского физика Роджера Пенроуза «Новый ум короля» автор высказывает мнение, что в мозгу есть некие биофизические механизмы, способные выполнять квантовые вычисления, хотя такое мнение разделяют далеко не все. Известный швейцарский теоретик Клаус Хепп говорит, что не может представить себе, чтобы влажный и теплый мозг осуществлял квантовые операции. С другой стороны, Юрий Манин, о котором уже упоминалось, допускает, что мозг — это большой классический компьютер, в котором присутствует квантовый чип, ответственный за интуицию и другие творческие задачи. А также, вероятно, и за «свободу воли», поскольку в квантовой механике случайность заложена принципиально, в самой природе вещей.

1 — В отличие от обычных систем (с секретным ключом), системы, допускающие открытую передачу (открытой) части ключа по незащищенному каналу связи, называют системами с открытым ключом. В таких системах открытый ключ (ключ шифрования), отличается от личного ключа (ключа расшифровывания), поэтому их иногда называют асимметричными системами или двуключевыми системами.

stimul.online